15平面上的距离（2）-2021-2022学年高二数学培优训练（2019选择性）

1.5平面上的距离（2）（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分一、单项选择题：1．如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，算出两点的坐标结合斜率公式即可得到答案.【详解】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，又，直线的方程为，设，则，解得，所以，同理可得关于直线对称的点，所以直线：，又直线方程为：，所以，所以直线方程为：，即，由，得，所以，又易得方程为：，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算能力，是一道有一定难度的题.2．已知长方形的四个顶点：、、、.一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，过点作轴，可得，计算出的取值范围，可得出，由此可得出的取值范围.【详解】将矩形先向右平移个单位，再向上平移个单位得到矩形，再将矩形向右平移个单位，得到矩形，如下图所示：延长分别交、、于点、、，过点作轴，垂足为点，则，由对称性结合图形可知，，且有，，，所以，，在中，.故选：B.【点睛】本题考查利用光线反射求角的正切值的取值范围，解题的关键就是利用对称性进行转化，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.3．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】画出图像，根据不同的位置得到答案.【详解】如图所示：当顶点处于位置时，格点数为；当顶点处于位置时，格点数为；当顶点处于位置时，格点数为；无论顶点处于什么位置都不能是格点数为；故选：【点睛】本题考查了三角形的边界整数点问题，画出图像是解题的关键.4．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.【详解】直线的方程为，即.由解得.设，直线的方程分别为，即，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以，，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得，解得（），所以.所以到直线的距离为，而，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法5．已知点，直线和，若点、分别是、上与、两点距离的平方和最小的点，则等于（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】设，则，得到，得到，再计算得到答案.【详解】设，则，当时有最小值，故当时有最小值，故，故故选：【点睛】本题考查了距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、多选题6．（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，当时，；当时，.故选：BD.【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.7．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（）A．若点在线段上，则有B．若是三角形的三个顶点，则有C．到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线D．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为【答案】AC【分析】对A，根据“折线距离”的定义化简可得；对B，由绝对值不等式可判断；对C，设出点的坐标，根据定义列出方程即可求解；对D，由可判断.【详解】对A，若点在线段上，设，则在之间，在之间，则，故A正确；对B，在中，，故B错误；对C，设到两点的“折线距离”相等的点的坐标为，则，解得，故C正确；对D，设，则，即的最小值为，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查“折线距离”的应用，属于新定义问题，解题的关键是正确理解定义，并结合绝对值不等式进行化简判断.8．下列结论正确的是（）A．若直线和的斜率相等，则B．已知直线，（、、、、、为常数），若直线，则C．点到直线的距离为D．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离【答案】BD【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若直线和的斜率相等，则与平行或重合，A选项错误；对于B选项，已知直线，（、、、、、为常数）.当直线和的斜率都存在时，则，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得；当直线和分别与两坐标轴垂直，设轴，则轴，则，，满足.综上所述，若直线，则，B选项正确；对于C选项，直线的一般方程为，所以，点到直线的距离为，C选项错误；对于D选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D选项正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：已知直线和直线.（1）且；（2）.9．在平面直角坐标系中，已知点､，定义为两点A，B的“折线距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“折线距离”，记作，下列说法正确的是（）A．对任意的两点A，B，都有B．对任意三点A､B､C，都有C．已知点和直线，则D．已知点，动点满足，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是2【答案】ABD【分析】根据“折线距离”的定义利用绝对值的性质进行验证判断．【详解】,所以，即，A正确；由绝对值三角不等式知，，所以，即，B正确；设是上任一点，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，即，C错；设，则，在平面直角坐标系中，曲线是一个正方形，如图，，得正方形内部面积为，D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义下的“距离”用绝对值表示后，利用绝对值性质求解证明．三、填空题10．在平面直角坐标系中，过点的一条直线与函数的图像交于两点，则线段长的最小值是__________．【答案】【分析】设，得到当直线与函数过点的切线垂直时，线段最短，利用导数的几何意义求出切线的坐标，进而可求得答案.【详解】设，点为直线与函数在第一象限的焦点，则，可得当直线与函数过点的切线垂直时，线段最短，设切点，函数的导数为，则，解得，此时，所以线段长的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，两点间的距离公司，以及两直线垂直的条件等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算与求解能力11．已知实数满足，则的最小值为_______．【答案】【分析】实数满足表示点在直线上，可以看作点到原点的距离，最小值是原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式求解.【详解】因为实数满足＝1所以表示直线上点到原点的距离，故的最小值为原点到直线的距离，即，故的最小值为1.【点睛】本题考查点到点，点到直线的距离公式，此题的关键在于的最小值所表示的几何意义的识别.12．在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足，（为坐标原点），则实数的取值范围是________【答案】【分析】先设，根据，，得到，再由题意，得到，求解，即可得出结果.【详解】由题意设，因为点，，所以，整理得：①因为直线上存在点满足，所以方程①有解，因此，解得.故答案为【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.四、解答题13．在平面直角坐标系内，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为.（1）求线段上一点到原点的“曼哈顿距离”；（2）求所有到定点的“曼哈顿距离”均为的动点围成的图形的周长；（3）众所周知，对于“欧几里得距离”，有如下三个正确的结论：①对于平面上任意三点，都有;②对于平面上不在同一直线上的任意三点，若，则是以为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点，若动点满足，则动点的轨迹是线段的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由.【答案】（1）2；（2）；（3）①正确，②错误，③错误，理由见解析【分析】（1）直接根据新定义计算；（2）不妨取点为原点，求出所有到定点的“曼哈顿距离”均为的动点围成的图形，然后再求图形的周长．（3）用“曼哈顿距离”表示出三个命题的条件，代入检验判断三个命题是否正确．【详解】（1）因为在线段上，所以，；（2）不妨设点就是原点（否则把到平移到原点，不改变图形的周长），若在第一象限（含轴正半轴），则，因此点在线段上，其长度为，根据对称性，它在第二象限、第三象限、第四象限的部分（含相应坐标轴上的点）都是一条线段，长度均为，所以总长度为．（3）对平面上任意三点，“曼哈顿距离”为：，，①由绝对值的性质显然有,,所以，且（或不等号全部改变方向）时等号成立．①正确；②，与不一定相等，因此不能得出“欧几里得距离”这个传统意义上的勾股定理的形式，不能判断是直角三角形．②错误；③不妨设，，，由得，平方后得，显然＝不一定成立，因此也不一定成立，即不能得出“欧几里得距离”相等，不一定在线段的垂直平分线上．③错误．【点睛】本题考查新运算与绝对值的结合，应注意点不同位置，弄清新命题的运算规则，是本题的关键，设出各点坐标，代入关系式计算，14．已知三条直线l1:2xy+a=0(a>0)，直线l2:4x2y1=0和直线l3:x+y1=0，且l1和l2的距离是.(1)求a的值.(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1）a=3；（2）P().【分析】(1)根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值．(2)根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍．【详解】(1)l2的方程即为，∴l1和l2的距离d=，∴.∵a>0,∴a=3.(2)设点P(x0,y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′:2xy+c=0上，且,即c=或c=.∴2x0y0+或2x0y0+.若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，∴x02y0+4=0或3x0+2=0.由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.联立方程2x0y0+和x02y0+4=0，解得x0=3,y0=,应舍去.由2x0y0+与x02y0+4=0联立，解得x0=,y0=.所以P()即为同时满足三个条件的点.【点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，15．如图，的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为，直线CD交AB于点，交x轴于点.(1)求直线CD的方程；(2)动点P在x轴上从点出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.【答案】(1)；(2)①满足条件的点P坐标为或，②满足条件的t的值为或.【分析】（1）利用两点式求出直线方程，再化为一般方程；

（2）①根据题意作DP∥OB，利用相似三角形求出点P的坐标，根据对称性求得P′的坐标；

②分情况讨论，OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，求得点M与点P重合，t＝0；

OQ＝OB时，求出点Q的横坐标，计算M的横坐标，求得t的值；Q点与C点重合时，求得M点的横坐标，得出t的值.【详解】解：（1）直线CD过点C（12，0），D（6，3），直线方程为＝，化为一般形式是x+2y﹣12＝0；（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA＝∠B，由DP∥OB得，＝，即＝，∴PA＝；∴OP＝6﹣＝，∴点P（，0）；根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（，0），∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）；②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，则