传热学第三章-非稳态导热-()

§3-3一维非稳态导热的分析解

当几何形状及边界条件都比较简单时,可获得分析解。3-3-1无限大的平板的分析解考察厚度2

的无限大平壁得情况。设

、a为已知常数；

=0时温度为t0；突然把两侧介质温度降低为t

并保持不变；已知壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。1则导热微分方程为:初始条件:边界条件:引入:则，导热方程可改写为:定解条件可改写为:2采用分离变量法求解:取于是有:T只为

的函数X只为x的函数则由:得:只能为常数得到对积分3式中C1是积分常数,常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。当时间τ趋于无穷大时,过程达到稳态,物体达到周围环境温度,所以D必须为负值,否则物体温度将无穷增大。令则有以及以上两式的通解为:4于是,得

（a）常数A.B和β可由下边定解条件确定。(1)(2)(3)由边界条件（2）,得B=0把边界条件（3）代入(b),得

于是（a）式成为

（b）（c）5将右端整理成:注意,这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。显然，β是两曲线交点对应的所有值。式(c)称为特征方程。β称为特征值。分别为β1.β2……βn。6….将无穷个解叠加，得:至此，我们获得了无穷个特解:An可利用初始条件求取7于是，得到解的最后形式为:令βnδ=μn最后得:（傅立叶数）—无量纲距离由于得而8于是，最后可得到解得形式为:定义无量纲的热量其中Q

为0

时间内传导的热量（内热能的改变量）为初始时刻至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量）

于是有:是

时刻物体的平均过余温度。这里:93-3-2非稳态导热的正规状况阶段当Fo>0.2时,采用级数的第一项计算偏差小于1%,故当Fo>0.2时,由:其中1是第一特征值,是Bi的函数。Bi0.010.050.10.51.05.01050100

1

0.09980.2210.3110.6530.8601.3141.4291.5401.5551.571得:（d）10为了分析这时温度分布的特点，将上式取对数，得:式右边第一项是时间的线性函数,的系数只与Bi有关,即只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。而右边第二项只与Bi、x/有关,与时间无关。上式说明,当Fo>0.2,平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化,并且变化曲线的斜率都相等,这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。11即:比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数)有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入正规状态或充分发展阶段。Fo>0.2时,任一点过余温度与中心过余温度m之比为（e）12令x=,还可以计算平壁表面温度和中心温度的比值。另外,由表3-1可知,当Bi<0.1时,1<0.3111,从而cos(1)>0.95。即当Bi<0.1时,平壁表面温度和中心温度的差别小于5%,可以近似认为整个平壁温度是均匀的。这就是3-2节集总参数法的界定值定为Bi<0.1的原因。（f）13两边对时间求导,得上式左边是过余温度对时间的相对变化率,称为冷却率（或加热率）。上式说明,非稳态导热进入正规状况阶段后,物体所有各点的冷却率或加热率都相同,且不随时间而变化,其值仅取决于物体的物性参数、几何形状与尺寸以及表面传热系数。由式

14其一是利用式（d）的计算步骤：计算Bi→

1计算F0,

0计算任一位置x处的（x,），式（d）3-3-3正规状况阶段的实用计算方法对于Fo0.2时无限大平壁的非稳态导热过程,其温度场可按公式(d)计算；也可用诺谟图计算,其中用于确定温度分布的图线称为海斯勒图。15（2）采用海斯勒（Heisler）图计算

为平板中心的过余温度

由式

其中

161718求出了无限大平壁的温度分布后，就可以求出经过

时间内每平方米平壁与外界交换的热量：显然,Q/Q0亦是Fo和Bi的函数1920利用海斯勒线图计算步骤a）对于由时间求温度的步骤为:计算Bi数、Fo数和x/δ,从图中查找θm/θ0和θ/θm,计算出,最后求出温度tb)对于由温度求时间步骤为,计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图中查找θ/θm,,计算θm/θ0然后从图中查找Fo,再求出时间。c）平板吸收（或放出）的热量,可在计算Q0和Bi数、Fo数之后,从图3-6中Q/Q0查找,再计算出213-3-4其它形状物体的加热或冷却1）无限长圆柱和球体圆柱可以求出分析解,但目前更多使用图解法22求解过程有以下两点值得注意:当F0≥0.2时，与无限大平壁类似，无限长圆柱体或球体的加热或冷却过程进入了正常阶段；当Bi<0.1时，对于无限长圆柱体或球体，同样可以采用集总热容法计算由式

3-3-5

Fo数及Bi数的影响23(1)当Bi数一定时,随Fo的增加而减小,即随着时间的增加（Fo增加）,物体温度越来越接近流体温度。(2)当Fo数一定时,Bi越大（1/Bi越小）,m/0就越小,这是因为Bi=h/越大,表面换越强,中心温度就越快地接近周围液体温度。当1/Bi=0时,表面温度一开始就达到液体温度,中心温度变化也最快,这条线代表第一类边界条件。可知

(3)从图3-6可看出,当1/Bi>10,