第四讲三角恒等式-2021-2022学年高一数学重难点讲义（2020必修二）

三角恒等式1、了解万能公式，并会简单运用；2、能正确运用公式解决化简、求值等相关问题、运算问题.【知识梳理】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）；（2）；（3）.降幂公式：升幂公式：2、半角的正弦、余弦、正切公式（符号的选择由所在的象限确定）（1）；（2）；（3）.3、万能置换公式（1）；（2）；（3）.4、三角恒等变形的主要思路：“求同”的思想.分析条件与结论（左边与右边）的差异是什么？如角的差异；函数名称的差异；结构的差异.5、三角恒等变形的主要方法：（1）“角”的变化；如.（2）“函数名称”的变化；如“切割化弦”.（3）“结构”的变化：如“升幂、降次”.（4）“1”的变化：.【例题精讲】例1、不用计算器，求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）．解:（１）=；（２）＝；（３）＝；（４）＝．例2、求下列各式的值（1）（2）（3）（4）解:（１）（２）（３）（４）例3、求证：（1）（2）证明：（1）（2）例4、求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°解：原式＝＋sin10°cos40°＝1＋×2×（－sin30°sin50°）＋sin10°cos40°＝1－sin50°＋（sin50°－sin30°）＝1－＝例5.若，则等于（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路分析】解：，，，所以，，，，．故选：A．例6.的三个内角的对边分别是，已知.（1）求C；（2）若，求的取值范围.【标准答案】（1）（2）【思路分析】（1）由正弦定理可得：，，又因，，所以，又因，所以，即，.（2）由（1）知，，，,,,例7.化简：解：例8.若，则=（）。

A、B、C、D、

解：答案：A例9.若，则=（）.

A、B、C、1D、1解：方法一：由，，可得方法二：例10.已知sincos=，，求和tan的值解：∵sincos=∴化简得：∴∵∴∴即例11.（1）已知，，求的值.（2）化简.【标准答案】（1）；（2）.【思路分析】万能公式的合理利用（1）∵∴化简得：∴∵∴∴即（2）.例12.证明：.【标准答案】略.【思路分析】凑角.例13.求证：的值与无关.【标准答案】略.【思路分析】两角和展开化简.例14.在中，角，，的对边分别为，，且．（1）求；（2）若，求的周长的取值范围．【标准答案】（1）；（2）．【思路分析】解：（1），所以，又，所以；（2）由已知得，，，，，∴，，∴，∴，∴.例15.化简：.【标准答案】.【思路分析】倍角降幂公式化简.一、单选题1．角的终边经过点，则的值为（）A． B． C． D．2．已知函数，当时，函数取得最大值，则（）A． B．C． D．3．的值为（）A． B． C． D．4．若，则（）A． B． C． D．5．若，则（）A． B． C． D．6．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（）A． B． C． D．二、填空题7．若是方程的两根，，则___________.8．已知，，，则___________.9．已知等腰三角形一个底角的正弦值为，则这个三角形的顶角的余弦值为______．10．已知，且，则_______.11．已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则___________.三、解答题12．（1）已知，都是锐角，，，求的值；（2）已知为锐角，为钝角，，，求.13．已知．(1)求的值；(2)求的值．14．在平面直角坐标系中，已知角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点．(1)求的值；(2)求的值．15．已知，.(1)求；(2)若，，求，并计算.16．如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．(1)求扇形圆心角的大小；(2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．参考答案：1．C【思路分析】根据三角函数的定义求出，利用诱导公式和二倍角的正弦公式将原式化简计算即可.【步骤详解】由题意可得，所以.故选：C2．B【思路分析】先求出，再用诱导公式及正弦两角差公式计算即可.【步骤详解】，其有最大值时，有（），所以，所以.故选：B3．A【思路分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.【步骤详解】原式.故选：A4．A【思路分析】应用辅助角公式将条件化为，再应用诱导公式求.【步骤详解】由题设，，则，又.故选：A5．B【思路分析】由同角三角函数的商数、平方关系，将条件化为，再根据二倍角余弦公式求目标式的值.【步骤详解】由题设，，又.故选：B.6．D【思路分析】利用定义法求出，再用二倍角公式即可求解.【步骤详解】依题意，角的终边经过点，则，于是.故选：D7．【思路分析】由韦达理及正切两角和得到，再根据诱导公式化简即可求解.【步骤详解】由题知，，而，所以，所以.故答案为：8．##【思路分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.【步骤详解】因为，，故，而，故，而，故，所以.故答案为：9．【思路分析】依题意可得，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用诱导公式及二倍角公式求出.【步骤详解】由题意设，且，所以．所以．故答案为：10．【思路分析】根据题意，可知，结合三角函数的同角基本关系，可求出和再根据，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【步骤详解】因为，所以，因为，所以，又，所以，所以.故答案为：.11．【思路分析】由同角三角函数的关系先求出，由二倍角公式求出，由三角函数的定义以及同角三角函数的关系先求出，再分析出，从而求出的值，得出答案.【步骤详解】由，则所以，所以由，，可得由角终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则，则所以所以由所以故答案为：12．（1）；（2）.【思路分析】（1）根据，以及的范围结合求出和，再由结合两角差的余弦公式即可求解；（2）利用两角和的正切公式结合的范围即可求解.【步骤详解】解：（1）因为，都是锐角，即，又（2）由，得为锐角，为钝角即，13．(1);(2).【思路分析】（1）利用和角公式求解即可;（2）利用弦化切的方法，分子分母同时除以即求.(1)∵，∴；(2)∵，∴.14．(1)；(2).【思路分析】（1）由任意角的三角函数的定义求出，再利用二倍角公式计算可得；（2）利用诱导公式将式子化简，再将弦化切，最后代入计算可得；(1)由三角函数定义可知：；(2)由三角函数定义可知:，∴.15．(1)(2)，【思路分析】（1）利用同角三角函数的关系可得.（2）将写成，再用两角差的余弦求解；由可求，先化简再代入求解.(1)，且，解得，，所以.(2)因为，，所以，所以，所以.因为，，所以，，所以.16．(1)；(2)点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.【思路分析】（1）利用扇形的面积公式可求得的大小；（2）连接，设，将、用的代数式表示