第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数a>b>1，c∈R，下列关系正确的是（

A．ac2>bC．ab<2a【解题思路】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D.【解答过程】对于A，取c=0，得ac对于B，ba−2b对于C，ab−2a对于D，a+1−故选：D.2．（5分）（23-24高二下·天津红桥·期末）已知a>0,b>0，且1a+2b=1A．2 B．2C．322 【解题思路】由1a+2b=1得a=bb−2【解答过程】因为a>0,b>0且1a+2b=1，所以1所以a−1=bb−2−1=所以2a−1当且仅当b−2=1b−2即b=3时，等号成立，所以2a−1故选：A.3．（5分）（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元/斤a≠b，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与mA．m1=mC．m1<【解题思路】由题意可知m1=2ab【解答过程】由题意可得，a>0，b>0，a≠b，m1=20∵m∴m故选：C．4．（5分）（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式ax2−4x+a−3<0对所有实数x恒成立，则aA．−∞,−1∪C．−∞,−1∪【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论，a≠0时，结合二次函数图象得到a的取值范围.【解答过程】a=0时，原不等式化为4x−3<0，解得x<34，不对所有的a≠0时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数x恒成立，则二次函数y=ax2−4x+a−3从而a<0Δ=−4所以，a的取值范围为−∞故选：B.5．（5分）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则aA．13 B．14 C．15 D．16【解题思路】设方程x2−8x+a=0的两根为x1，x2，由题有2≤x1−x2<4，后由韦达定理可得由题有2≤x1−x2则Δ=64−4a>04≤64−4a<16⇒12<a≤15故选：D.6．（5分）（23-24高一上·河北保定·期末）关于二次函数y=x2−kx+k−1(k≠0)A．函数图象与x轴总有两个不同的交点B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则k>0C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点D．当x≥1时，y随x的增大而增大，则【解题思路】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判断C，根据对称轴判断D.【解答过程】∵Δ=(−k)2−4(k−1)=若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知k>0k−1>0Δ>0，解得k>1若将函数图象向左平移1个单位，可得到y=(x+1)2−k(x+1)+k−1，令x=0当x≥1时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴x=k2故选：C.7．（5分）（23-24高二下·山西临汾·期末）已知a>b>0，1a−b+1a+b=4，且5a−4b≥mA．−∞,52 B．−∞,2【解题思路】先利用“1”的代换求得5a−4b的最小值，再由5a−4bmin【解答过程】解：设5a−4b=sa−b则s+t=5s−t=4，解得s=92t==1≥1当且仅当a+b2a−b=所以5a−4b的最小值为2，又因为对a>b>0，1a−b+1所以m≤2，故选：B.8．（5分）（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集是{x∣x<−6}C．a+b+c>0 D．不等式cx2【解题思路】由题意可知，−2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，故A正确；再结合韦达定理可得b=−a,c=−6a,代入选项B和D，解不等式即可判断;当x=1时，有【解答过程】由题意可知−2和3是方程ax2+bx+c=0∴−2+3=−ba,∴b=−a,c=−6a,a>0，即选项A正确；不等式bx+c>0等价于ax+6∴x<−6，即选项B正确；∵不等式ax2+bx+c>0∴当x=1时，有a+b+c<0，即选项C错误；∵不等式cx2−bx+a<0等价于a∴x<−13或x>1故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（24-25高一上·云南文山·阶段练习）下列命题是真命题的为（

）A．若a>b>0>c>d，则ab>cdB．若ac2C．若a>b>0且c<0，则cD．若a>b且1a>【解题思路】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确.【解答过程】对于A项，取a=2，b=1，c=−3，d=−4，则ab=2，cd=12，所以ab<cd，故A选项错误；对于B选项，若ac2>bc2对于C选项，若a>b>0，则a2>b又因为c<0，由不等式的性质可得ca对于D选项，若a>b且1a>1b，则故选：BCD．10．（6分）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知x,y为正实数，x+y=2，则（A．xy的最大值为1B．yx+C．x2x+1D．(x2【解题思路】运用xy≤x+y22可判断A项；由yx+2y【解答过程】对选项A，xy≤x+y22对选项B，yx+2对选项C，x2x+1+令s=x+1，t=y+2则s+t=5，所以15当且仅当t=2s，即s=53，所以x2x+1+对选项D，x2当且仅当xy=1故选：AB.11．（6分）（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式ax2−bx+c>0的解集为M=A．不等式ax2B．4a+2b+c<0C．不等式bxax−b≤2D．设x的不等式ax2−bx+c+1>0的解集为【解题思路】先利用题给条件求得a,b,c三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式bxax−b≤2的解集，判断选项C；设f(x)=ax【解答过程】关于x的不等式ax2则a<0,且关于x的方程ax2−bx+c=0则a<0a+b+c=0则不等式ax2+bx+c>0为a4a+2b+c=4a+2a−2a=4a<0，所以A、B都正确；不等式bxax−b≤2可化为axax−a所以解集为xx<1，或x≥2设f(x)=ax2−bx+c则函数f(x)的图象向上平移一个单位得g(x)的图象，如图，

所以不等式ax2−bx+c+1>0的解集为N故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知−1<x−y<4,2<x+y<3，则3x+y的取值范围是3,10.【解题思路】先设出3x+y=mx+y+nx−y【解答过程】设3x+y=mx+y所以m+n=3m−n=1，解得m=2,n=1所以3x+y=2x+y又2<x+y<3，所以4<2x+y又−1<x−y<4,所以上述两不等式相加可得3<2x+y即3<3x+y<10，所以3x+y的取值范围是3,10，故答案为：3,10.13．（5分）（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知关于x的不等式组−x2+4x+5<02x2+5x<−【解题思路】解一元二次不等式并对参数k的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得k的取值范围为−6,2∪【解答过程】由x2−4x−5=x−5x+1>0所以2x2+2k+5x+5k=2x+5x+k<0的解集与{x∣x<−1或x>5}的交集中存在整数解，且只有一个整数解.当k<5当k=52时，2x当k>52时，2x2+2k+5x+5k<0综上，k的取值范围为−6,2∪故答案为：−6,2∪14．（5分）（2024·江西·一模）已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y2y+2【解题思路】将x2x+1+y2【解答过程】因为x+y=6，所以t==x+1+1所以t=3+=329+所以x2x+1+故实数a的取值范围是−∞故答案为：(−∞,4].四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小：(1)已知a>b>0，试比较a2+b(2)已知x<1，比较x3−1与【解题思路】（1）（2）利用作差法比较大小即得.【解答过程】（1）依题意，a2+b2a2−b2−a+ba−b所以a2（2）依题意，x=x3由x<1，得x−1<0，而x−122所以x316．（15分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知a>0,b>0,a+b=1，求证:(1)1a(2)1+1【解题思路】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解；（2）作“1”代换，根据基本不等式求解.【解答过程】（1）∵a>0,b>0,a+b=1，∴1当且仅当ba=a（2）∵a>0,b>0,a+b=1，∴1+1a当且仅当3ba=4a17．（15分）（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数fx(1)若不等式fx>0的解集为x0<x<3，解关于x(2)若a>0且b=−a−1，c=1，解关于x的不等式fx【解题思路】（1）由已知得b=−3a,c=0,a<0，代入所求不等式得−3ax2+3ax+6a<0(a<0)从而求得解集；（2）由已知fx<0【解答过程】（1）∵ax2+bx+c>0∴a<0,0+3=−b∴b=−3a,c=0,a<0，∴bx则x2−x−2<0，即∴所求不等式的解集为x−1<x<2（2）由b=−a−1，c=1，得f(x)=ax则f(x)<0，即ax又a>0，则不等式可化为x−1当0<a<1时，不等式的解集为x1<x<当a=1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为x118．（17分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为12000+500a+1152x+a元(a>0)【解题思路】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；（2）根据题意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a对任意的x>0【解答过程】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为240m所以体育馆的左右两侧墙的长度均为240x米(x>0)设甲工程队报价为y元，所以y=240因为y≥1500×2400当且仅当400x=x，即所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；（2）根据题意可知5001200x+3x即3x2+24x+48>a所以a<3(x+4)2因为a>0，(x+4)2当且仅当x+1=9x+1，即所以0<a<36，故当0<a<36时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．19．（17分）（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于x的不等式2x−1>m(x(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m∈−2,2恒成立，求实数x(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求【解题思路】将2x−1>m(x2−1)（1）讨论m=0和m≠0时的情况；（2）f(m)=(x2−1)m−(2x−1)（3）讨论当m=0时，当m<0时，当m>0时，如何对x∈[2,+∞)有解，其中m<0，【解答过程】（1）原不等式等价于mx当m=0时，−2x+1<0，即x>1当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则m<0且Δ=4−4m(1−m)<0综上，不存在实数m，使不