高等数学（第三版）课件：二重积分的概念与性质

二重积分的概念及性质一、二重积分的定义二、二重积分的性质

一、二重积分的概念解分三步解决这个问题.例1

质量问题.已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)

随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.分割将D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块和除边界外无公共点.与一元函数的情况类似，我们用符号既表示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,…,n).故所要求的质量m的近似值为近似、求和若记为的直径(即表示中任意两点间距离的最大值)，将任意一点处的密度近似看作为整个小块的面密度.得取极限记，则定义为所求薄板D的质量m.例2

曲顶柱体的体积.

若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.解也分三步解决这个问题.分割区域D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块和除边界外无公共点.其中既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.近似、求和记为的直径(即表示中任意两点间距离的最大值)，在中任取一点,以为高而底为的平顶柱体体积为此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近似值可以取为取极限若记，则定义为所讨论的曲顶柱体的体积.定义1

设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.分割用任意两组曲线分割D成n个小块其中任意两小块和除边界外无公共点，既表示第i小块，也表示第i小块的面积.近似、求和对任意点，作和式取极限若为的直径，记,若极限存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为(2)称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元，为面积微元(或面积元素).

由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质量等于其面密度在D上的二重积分.因此二重积分的物理意义可以解释为：二重积分的值等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.二重积分的几何意义：(二重积分的1)若在D上f(x,y)≥0，则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).二重积分的存在定理若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).

二、二重积分的性质

二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.

性质1

有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质2

被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即

性质3

若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则性质4

若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则性质5

若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有推论性质6(估值定理)

若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则(3)

性质7(二重积分中值定理)

设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点，使(4)证由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，存在，使(5)(5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点使取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连续函数的平均值