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高等数学（第二版）一、无穷级数的基本概念二、级数的基本性质无穷级数的基本概念和性质无穷级数一、无穷级数的基本概念当此等比数列有无限多项，那么无限多项数列的“和”如何计算呢？在初等数学中，我们已经遇到过公比为的等比数列，求其前项和的问题。我们知道等比数列前项和为定义1设给定无穷数列，则式子称为无穷级数，简称为级数，记为，称其第项为级数的一般项（或称通项）。由此可由无穷级数得到一个部分和数列定义2设给定数列，则其前项和称为级数的前项部分和，简称为部分和。若存在，则称级数收敛，并称此极限值S为级数的和，记为。若不存在，则称级数发散。发散级数没有和。例1

试判断级数的敛散性。解：由于，所以前项的部分和故

即：无穷级数发散。例2试判断级数的敛散性。解：于是。由于，所以前项的部分和所以，无穷级数收敛，且其和为1。解：于是故当公比时，无穷级数发散。例3试判断级数的敛散性。当时，所给无穷级数的前项部分和此级数为几何级数（又称等比级数）。当时，其前项的部分和为当时，，因而，所以无穷级数收敛，且其和为。当时，，因而不存在，即无穷级数发散。其部分和当时，，其前项和综上所述，可知：几何级数，当时收敛，其和为；当时，几何级数发散。根据无穷级数收敛和发散的定义及极限的运算法则，不难验证无穷级数具有下列基本性质。二、级数的基本性质性质1若无穷级数与都收敛，其和分别为和，则级数必收敛，且其和为。性质2(1)若无穷级数收敛，其和为，为常数，则无穷级数也收敛为。

(2)若无穷级数发散，，则必定发散。例4

试判断无穷级数的敛散性解：由于无穷级数和均为几何级数，且公比分别为，由例3可知：和均收敛。由性质2可知：无穷级数收敛。而由性质1可知：无穷级数收敛。性质3在无穷级数中去掉或添加有限项，所得到的新级数与原来级数具有相同的敛散性。性质3表明，无穷级数的敛散性与其前面有限项无关，而是取决于充分大以后的的变化趋势。性质4在无穷级数中添加括号，即将有限项用括号括起来作为一项，得到新级数。如果原无穷级数收敛，则新无穷级数也收敛；如果新级数发散，则原级数发散。值得注意是：收敛级数去掉括号后所得的新的无穷级数不一定是收敛的。例如：收敛于0，但是去掉括号后得到的新级数为发散的无穷级数。推论：若，则无穷级数发散。性质5（级数收敛的必要条件）若无穷级数收敛，则

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