新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第35讲 数列的求和（原卷版）

第35讲数列求和【基础知识全通关】1．等差数列的前n项和首项为SKIPIF1<0，末项为SKIPIF1<0，项数为n的等差数列SKIPIF1<0的前n项和公式：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是关于n的二次函数，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的图象上一系列孤立的点；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是关于n的一次函数SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或常函数SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一系列孤立的点．我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．2．用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，那么当且仅当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列；当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0不是等差数列．3．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0具有如下性质：（1）通项公式的推广：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．特别地，①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即SKIPIF1<0（3）下标成等差数列的项SKIPIF1<0组成以md为公差的等差数列．（4）数列SKIPIF1<0是常数SKIPIF1<0是公差为td的等差数列．（5）若数列SKIPIF1<0为等差数列，则数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0是常数SKIPIF1<0仍为等差数列．（6）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．4．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列SKIPIF1<0（公差为d）和SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，（1）数列SKIPIF1<0是等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0构成公差为SKIPIF1<0的等差数列．（3）若数列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0项，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）若数列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0项，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（5）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5.等比数列的前n项和公式首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和的公式为SKIPIF1<0（1）当公比SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是关于n的正比例函数，则数列SKIPIF1<0的图象是正比例函数SKIPIF1<0图象上的一群孤立的点．（2）当公比SKIPIF1<0时，等比数列的前SKIPIF1<0项和公式是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则上式可写成SKIPIF1<0的形式，则数列SKIPIF1<0的图象是函数SKIPIF1<0图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和SKIPIF1<0是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．6、等比数列及其前n项和的性质若数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，前n项和为SKIPIF1<0，则有如下性质：（1）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．推广：SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0成等比数列．（3）数列SKIPIF1<0仍是公比为SKIPIF1<0的等比数列；数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列；数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列；若数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，则数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列．（4）SKIPIF1<0成等比数列，公比为SKIPIF1<0．（5）连续相邻SKIPIF1<0项的和（或积）构成公比为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的等比数列．（6）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（7）SKIPIF1<0．（8）若项数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若项数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（9）当SKIPIF1<0时，连续SKIPIF1<0项的和（如SKIPIF1<0）仍组成等比数列（公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．注意：这里连续m项的和均非零．【考点研习一点通】考点一求解等差数列的通项及前n项和1.已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【变式1-1】已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.考点二数列SKIPIF1<0的前n项和的求解2.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.（1）请问数列SKIPIF1<0是否为等差数列？如果是，请证明；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.【变式2-1】设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．考点三求解等比数列的通项及前n项和3.若等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<05，则SKIPIF1<0等于A．5 B．16C．17 D．25【变式3-1】已知等比数列SKIPIF1<0的各项均为正数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.考点四等比数列的性质的应用4.在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．2C．1D．SKIPIF1<0【变式4-1】已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【考点易错】1.等差数列SKIPIF1<0的前30项之和为50，前50项之和为30，求SKIPIF1<0。2.设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0.求证：数列SKIPIF1<0为等差数列．3.设{an}是等差数列,证明以bn=SKIPIF1<0(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.4．等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（1）求公差d的取值范围；（2）n为何值时，Sn最大，并说明理由。5.若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“平方递推数列”．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，其中n为正整数．（1）证明：数列SKIPIF1<0是“平方递推数列”，且数列SKIPIF1<0为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（3）在（2）的条件下，记SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．6.若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.7.已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.【巩固提升】1．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个等差数列，其中SKIPIF1<0为常值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.记数