新课标版数学必修五(A版)单元卷1高考调研精讲精练

第一章章末测试卷(A)[时间：120分钟满分：150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC) B.eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)C．asinC＝csinA D．cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2abc)答案D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为3eq\r(3)，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75° B．60°C．45° D．30°答案B解析由S△ABC＝3eq\r(3)＝eq\f(1,2)×3×4sinC，得sinC＝eq\f(\r(3),2)，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76 B．2eq\r(19)C．27 D．2eq\r(7)答案B解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝2eq\r(19).4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq\r(3)，A＝30°，则B等于()A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°答案D解析由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).所以sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(4\r(3),4)sin30°＝eq\f(\r(3),2).又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，eq\r(a2＋ab＋b2)，则三角形的最大内角是()A．135° B．120°C．60° D．90°答案B解析eq\r(a2＋ab＋b2)>a，eq\r(a2＋ab＋b2)>b，则长为eq\r(a2＋ab＋b2)的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝eq\f(a2＋b2－（a2＋b2＋ab）,2ab)＝－eq\f(1,2)，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)答案B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).7．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的内角B，C之间的关系是()A．B>C B．B＝CC．B<C D．关系不确定答案B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．直角三角形答案B9．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形答案C10．在△ABC中，已知sinB＝1，b＝3，则此三角形()A．无解 B．只有一解C．有两解 D．解的个数不确定答案D11．在△ABC中，若A<B<C，b＝10，且a＋c＝2b，C＝2A，则a与c的值分别为()A．8，10 B．10，10C．8，12 D．12，8答案C解析∵C＝2A，∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA.由正弦定理，余弦定理可得c＝2a·eq\f(100＋c2－a2,2×10c)，将a＝20－c代入上式整理，得c2－22c＋120＝0，解得c＝10(舍去)或c＝12，∴a＝8.12．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，则△ABC的面积S为()A.eq\f(\r(15),2) B.eq\r(15)C.eq\f(8\r(15),5) D．6eq\r(3)答案A解析由b2－bc－2c2＝0，b2－c2＝c2＋bc，即b－c＝c，b＝2c.cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(4c2＋c2－6,4c2)＝eq\f(7,8)，得c2＝4，c＝2，b＝4.又sinA＝eq\f(\r(15),8)，∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(15),2).故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________．答案4eq\r(2)解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝eq\f(sinA,sinB)b＝eq\f(sin30°,sin45°)×8＝4eq\r(2).14．在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，三角形面积为12，则cos2C＝________．答案eq\f(7,25)解析由题意得S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BC·sinC＝12，即eq\f(1,2)×8×5×sinC＝12，则sinC＝eq\f(3,5).cos2C＝1－2sin2C＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,25).15．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为________m，乙楼高为________m.答案20eq\r(3)eq\f(40\r(3),3)解析如图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20m.则在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝20(m)，所以AB＝ACtan60°＝20eq\r(3)(m)，在△BCD中，BC＝40(m)，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以CD＝eq\f(sin∠CBD,sin∠BDC)BC＝eq\f(40\r(3),3).16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝eq\f(1,2)DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－eq\r(3)，则∠BAC＝________．答案60°解析由∠ADB＝120°，知∠ADC＝60°.又因为AD＝2，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin60°＝3－eq\r(3).所以DC＝2(eq\r(3)－1)．又因为BD＝eq\f(1,2)DC，所以BD＝eq\r(3)－1.过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝eq\f(1,2)DC·AE＝3－eq\r(3)，所以AE＝eq\r(3).又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝eq\r(3).在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°.在直角三角形AEC中，EC＝2eq\r(3)－3，所以tan∠ACE＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,2).(1)求A；(2)若a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面积．解析(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,2)，∴cos(B＋C)＝eq\f(1,2).∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝eq\f(1,2).∴cosA＝－eq\f(1,2).又∵0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3).(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA.则(2eq\r(3))2＝(b＋c)2－2bc－2bc·coseq\f(2π,3).∴12＝16－2bc－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).∴bc＝4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).18．(12分)在△ABC中，∠B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求BC边的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．解析(1)由cosC＝eq\f(2\r(5),5)，得sinC＝eq\f(\r(5),5).sinA＝sin(180°－45°－C)＝eq\f(\r(2),2)(cosC＋sinC)＝eq\f(3\r(10),10).由正弦定理，知BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))×eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(2).(2)AB＝eq\f(AC,sinB)·sinC＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))×eq\f(\r(5),5)＝2.BD＝eq\f(1,2)AB＝1.由余弦定理，知CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BC·cosB)＝eq\r(1＋18－2×1×3\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(13).19．(12分)在△ABC中，C－A＝eq\f(π,2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求sinA的值；(2)设AC＝eq\r(6)，求△ABC的面积．解析(1)由C－A＝eq\f(π,2)和A＋B＋C＝π，得2A＝eq\f(π,2)－B，0<A<eq\f(π,4).故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得cosA＝eq\f(\r(6),3).又由正弦定理，得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，BC＝eq\f(sinA,sinB)·AC＝3eq\r(2).所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)AC·BC·cosA＝3eq\r(2).20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)．(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．解析(1)方法一：∵A(3，4)，B(0，0)，∴|AB|＝5，sinB＝eq\f(4,5).当c＝5时，|BC|＝5，|AC|＝eq\r(（5－3）2＋（0－4）2)＝2eq\r(5).根据正弦定理，得eq\f(|BC|,sinA)＝eq\f(|AC|,sinB)⇒sinA＝eq\f(|BC|,|AC|)·sinB＝eq\f(2\r(5),5).方法二：∵A(3，4)，B(0，0)，∴|AB|＝5.当c＝5时，|BC|＝5，|AC|＝eq\r(（5－3）2＋（0－4）2)＝2eq\r(5).根据余弦定理，得cosA＝eq\f(|AB|2＋|AC|2－|BC|2,2|AB||AC|)＝eq\f(\r(5),5).sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(2\r(5),5).(2)已知△ABC顶点坐标为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)，根据余弦定理，得cosA＝eq\f(|AB|2＋|AC|2－|BC|2,2|AB||AC|).若∠A是钝角，则cosA<0⇒|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，即52＋[(c－3)2＋42]－c2＝50－6c<0，解得c>eq\f(25,3).21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)．解析在△ADC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即AB＝eq\f(A