数学学案：课堂导学直线和圆的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.直线的参数方程和普通方程的互化【例1】写出直线2x—y+1=0的参数方程,并求直线上的点M（1，3)到点A（3，7）、B（8，6)的距离。分析：要写出参数方程，首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2，设直线的倾斜角为α，则tanα=2,则sinα=，cosα=，根据后边要求的点M恰好在直线上，为了后边的运算方便，选择M作为直线上的定点.要求点M到A、B的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以。解:根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tanα=2,sinα=,cosα=,所以直线的参数方程是（t为参数）。经验证易知点A(3，7)恰好在直线上,所以有1+t=3，即t=45，即点M到点A的距离是4。而点B(8，6）不在直线上，所以不能使用参数t的几何意义，可以根据两点之间的距离公式求出距离为.温馨提示本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义。常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容,随便取一个定点；②把点B（8,6)当成直线上的点很容易由1+t=8，得t=7.2。圆的参数方程【例2】已知实数x、y满足（x-1)2+(y-2）2=25，求x2+y2的最大值与最小值.思路分析：这样的题目可考虑数形结合，把满足（x—1)2+（y—2）2=25的x、y视为圆（x—1)2+(y—2)2=25上的动点，待求的x2+y2可视为该圆的点与原点之间的距离的平方，结合图形易知结果或考虑利用圆的参数方程来求解。解：实数x、y满足（x-1）2+（y—2)2=25视为圆(x-1）2+（y-2)2=25上的点，于是可利用圆的参数方程来求解，设，代入x2+y2=(1+5cosθ)2+(2+5sinθ)2=30+(10cosθ+20sinθ）=30+10cos(θ+α),从而可知所求代数式的最大值与最小值分别为30+10,30—10.3。直线的参数方程与两点间距离【例3】直线过点A（—3,0）且与向量(1，-3）共线。（1)写出该直线的参数方程。（2）求点P（—3，-2）到此直线的距离。解：（1)由题意得参数方程为：（2）在直线上任取一点M（x,y)则｜｜2=（x+3)2+(y+2)2=10t2—12t+4=10(t-)2+。当t=时,｜｜2取最小值,此时｜|等于点P到直线的距离，则||=。温馨提示直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式,而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程。各个击破类题演练1设直线的参数方程为(t为参数），点P在直线上，且与点M0(—4，0)的距离为，如果该直线的参数方程改写成（t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为…（）A。±1B。0C.±解析:由|PM0|=,知PM0=或PM0=，即t=±代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,—1)；再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=—1.答案：A变式提升1设直线的参数方程为求直线的直角坐标方程。解:把t=代入y的表达式得y=8,化简得3x+5y-46=0.这即是直线的直角坐标方程。温馨提示：注意变量代换的方法.类题演练2已知圆x2+y2=1，点A（1,0），△ABC内接于该圆，且∠BAC=60°,当B、C在圆上运动时，求BC的中点的轨迹方程.解析:本题是比较典型的使用曲线的参数方程来解决相关问题的题目,涉及到多个点的坐标。解：如图1所示，M为BC的中点，由∠BAC=60°，得∠BOC=2×60°=120°,(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍)在△BOC中，OB=OC=1OM=。所以点M的轨迹方程为x2+y2=。图1图2又因为x≥时,如图2，虽然∠BOC=120°，但∠BAC=(360°-120°)=120°≠60°，所以点M的轨迹方程为x2+y2=(x＜).变式提升2圆M的方程为x2+y2-4Rxcosα—4Rysinα+3R2=0（R>0).当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹，并证明此时不论α取什么值,所有的圆M都外切于一个定圆。解析：本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变，而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.解：由题意得圆M的方程为(x-2Rcosα)2+（y—2Rsinα)2=R2，故圆心为M（2Rcosα,2Rsinα）,半径为R.当α变化时，圆心M的轨迹方程为（其中α为参数)，两式平方相加,得x2+y2=4R2，所以圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆。由于=2R=3R-R，=2R=R+R,所以所有的圆M都和定圆x2+y2=R2外切,和定圆x2+y2=9R2内切。类题演练3已知直线l过点P（3，2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求｜PA｜·｜PB｜的值为最小时的直线l的方程.解：设直线的倾斜角为α，则它的方程为（t为参数)，由A、B是坐标轴上的点知yA=0，xB=0.∴0=2+tsinα，即|PA｜=|t|=;0=3+tcosα，即｜PB|=|t|=.故｜PA|·|PB｜=(）=.∵90°＜α＜180°，∴当2α=270°,即α=135°时，|PA｜·｜PB|有最小值。∴直线方程为（t为参数）,化为普通方程即x+y—5=0。变式提升3设直线l过点P(—3,3），且倾斜角为。(1）写出直线l的参数方程;（2）设此直线与曲线C:(θ为参数），交于A、B两点，求｜PA|·|PB｜;（3)设A、B中点为M，求|PM|.解:(1）直线l的参数方程是(2）把曲线C的参数方程中的参数θ消去，得4x2+y2-16=0.把直线l的参数方程代入曲线