2024-2025学年高中数学第一章数列1.1.1数列的概念学案含解析北师大版必修5

PAGE§1数列1.1数列的概念内容标准学科素养1.了解数列的概念及其简洁表示和数列的分类，相识数列是反映自然规律的基本数学模型.2.能依据数列的前几项，写出它的一个通项公式.达成数学抽象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第1页[基础相识]学问点一数列及其有关概念预习教材P3－6，思索并完成以下问题1．视察下面5列数，它们有什么共同特征？(1)全体自然数按从小到大排成一列数：0，1，2，3，4，….(2)正整数1，2，3，4，5的倒数排成一列数：1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).(3)π精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排成一列数：3，3.1，3.14，3.141，….(4)无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，….(5)当n分别取1，2，3，4，5，…时，(－1)n的值排成一列数：－1，1，－1，1，－1，….提示：这五列数的共同特征：都是依据肯定依次排列的一列数．2．上述5列数，按项的个数来分，可以把数列分为几类？提示：从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列如(2)和无穷数列如(1)(3)(4)(5)．学问梳理1.数列的概念及一般形式(1)相关概念①数列：按肯定次序排列的一列数叫作数列．②项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，其中数列的第1项a1，也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．(2)一般形式数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．2．数列的分类(按项的个数)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有穷数列→项数有限的数列,无穷数列→项数无限的数列.))学问点二数列的通项公式思索并完成以下问题视察数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，…，数列的每一项与这一项的序号之间存在怎样的对应关系？提示：用文字语言描述：数列的每一项为这一项序号的倒数，用符号语言描述：an＝eq\f(1,n).学问梳理假如数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．[自我检测]1．(2024·信阳市模拟)数列1，3，6，10，x，21，…中的x等于()A．17 B．16C．15 D．14解析：∵3－1＝2，6－3＝3，10－6＝4，∴x－10＝5，21－x＝6，∴x＝15，故选C.答案：C2．(2024·天门市模拟)数列－1，4，－9，16，－25…的一个通项公式为()A．an＝n2 B．an＝(－1)nn2C．an＝(－1)n＋1n2 D．an＝(－1)n(n＋1)2解析：设此数列为{an}，其符号为(－1)n，肯定值为n2，∴an＝(－1)nn2.故选B.答案：B3．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n－1)，则a3＝________，30是该数列的第________项．解析：∵an＝n(n－1)，∴a3＝3×(3－1)＝6.令an＝n(n－1)＝30，解得n＝6或n＝－5(舍去)．答案：66授课提示：对应学生用书第2页探究一由数列的前几项写出数列的一个通项公式[阅读教材P5例2及解答]写出下面数列的一个通项公式．(1)3，5，7，9…(2)1，2，4，8…(3)9，99，999，9999，…题型：用视察法求数列的通项公式．方法步骤：①视察各项与序号的关系；②写出数列的一个通项公式．[例1]写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，….(2)1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)，….(3)2，0，2，0，….(4)eq\r(2)，eq\r(3)，2，eq\r(5)，….[解析](1)统一形式后，数列可化为eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，…，可得原数列的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2).(2)因数列的偶数项带负号，须要乘以(－1)n＋1，原数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1×eq\f(1,n).(3)法一：数列给出前4项，其中奇数项为2，偶数项为0，所以通项公式的一种表示方法为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（n为正奇数），,0（n为正偶数）.))法二：2与0的算术平均数为eq\f(2＋0,2)＝1，1加上1是2，1加上－1是0，因此数列的通项公式还可以写成an＝1＋(－1)n＋1.(4)将前4项改写成根式的形式为：eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5)，…故这个数列的一个通项公式为an＝eq\r(n＋1).方法技巧由数列的前几项求通项公式的常用方法此类问题主要靠视察(视察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特别数列)、联想(联想常见的数列)等方法．详细方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的改变特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和肯定值特征；⑤化异为同，对于分式，还可以考虑对分子、分母各个击破，或找寻分子、分母的关系．跟踪探究1.依据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式．(1)0.9，0.99，0.999，0.9999，….(2)1eq\f(1,2)，2eq\f(4,5)，3eq\f(9,10)，4eq\f(16,17)，….(3)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，….解析：(1)0.9＝1－0.1＝1－10－1，0.99＝1－10－2，0．999＝1－10－3；0.9999＝1－10－4.故an＝1－10－n(n∈N＋)．(2)1eq\f(1,2)＝1＋eq\f(12,12＋1)，2eq\f(4,5)＝2＋eq\f(22,22＋1)，3eq\f(9,10)＝3＋eq\f(32,32＋1)，4eq\f(16,17)＝4＋eq\f(42,42＋1)，故an＝n＋eq\f(n2,n2＋1)(n∈N＋)．(3)eq\f(1,2)＝eq\f(21－1,21)，eq\f(3,4)＝eq\f(22－1,22)，eq\f(7,8)＝eq\f(23－1,23)，eq\f(15,16)＝eq\f(24－1,24)，故an＝eq\f(2n－1,2n)(n∈N＋)．探究二数列通项公式的应用[阅读教材P5例1及解答]依据下面的通项公式，分别写出数列的前5项．(1)an＝eq\f(n,n＋2).(2)an＝(－1)ncoseq\f(nπ,4).题型：数列通项公式的应用方法步骤：①把握通项公式中n的位置；②在通项公式中依次取n＝1，2，3，4，5得数列{an}的前5项．[例2]已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(（－1）n（n＋1）,（2n－1）（2n＋1）)，n∈N＋.(1)写出它的第10项；(2)推断eq\f(2,33)是不是该数列中的项．[解析](1)a10＝eq\f(（－1）10×（10＋1）,（2×10－1）（2×10＋1）)＝eq\f(11,399).(2)令eq\f(n＋1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(2,33).化简得8n2－33n－35＝0，解得n＝5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝－\f(7,8)舍去))，当n＝5时，a5＝－eq\f(2,33)≠eq\f(2,33)，所以eq\f(2,33)不是该数列中的项．延长探究对于本例中的{an}，(1)求an＋1；(2)求a2n.解析：(1)an＋1＝eq\f(（－1）n＋1[（n＋1）＋1],[2（n＋1）－1][2（n＋1）＋1])＝eq\f(（－1）n＋1（n＋2）,（2n＋1）（2n＋3）).(2)a2n＝eq\f(（－1）2n（2n＋1）,（2×2n－1）（2×2n＋1）)＝eq\f(2n＋1,（4n－1）（4n＋1）).方法技巧通项公式的应用技巧(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)推断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程，若方程的解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪探究2.(2024·福州模拟)已知数列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，…，eq\f(n,n＋1)，…，则0.96是该数列的第()A．20项 B．22项C．24项 D．26项解析：∵数列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，…，eq\f(n,n＋1)，…，∴an＝eq\f(n,n＋1).令eq\f(n,n＋1)＝0.96，得n＝24，所以0.96是该数列的第24项，故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第3页[课后小结](1)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三特性质．①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．②可重复性：数列中的数可以重复．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也和这些数的排列次序有关．(2)并非全部的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．依据所给数列的前几项求其通项公式时，需细致视察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的改变特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和肯定值特征，并对此进行联想、转化、归纳．(3)假如一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．[素养培优]对数列概念的理解不清致误写出由集合{x|x∈N＋，且x≤4}中的全部元素构成的数列(要求首