2024-2025高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE2.5[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0解析：设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则eq\o(AP,\s\up10(→))·a＝0，又eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：A2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．答案：D3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,3)，eq\o(CD,\s\up10(→))＝(－2，－2)，所以eq\o(AB,\s\up10(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))与eq\o(CD,\s\up10(→))共线，但|eq\o(AB,\s\up10(→))|≠|eq\o(CD,\s\up10(→))|，故此四边形为梯形．答案：A4．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．2eq\r(26)m/sC．4eq\r(6)m/sD．12m/s解析：由题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意图如右图．∴小船在静水中的速度大小|v|＝eq\r(102＋22)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)(m/s)．答案：B5．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝5，则AC的长为()A．1B．2C．3D．4解析：因为eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))，所以eq\o(BD,\s\up10(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up10(→))－\o(AB,\s\up10(→))))2＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))2－eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))2，即eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))2＝1，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝2，即AC＝2.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50(焦耳)．答案：507．若eq\o(AB,\s\up10(→))＝3e，eq\o(DC,\s\up10(→))＝5e，且|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|，则四边形ABCD的形态为________．解析：由eq\o(AB,\s\up10(→))＝3e，eq\o(DC,\s\up10(→))＝5e，得eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))≠eq\o(DC,\s\up10(→))，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.又|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形8．如图，在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up10(→))＝(－3,2)，则eq\o(AD,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝________.解析：因为eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→)))＝(－1,2)，所以eq\o(AD,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.解析：方法一设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，所以eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝(eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→)))·(eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→)))＝eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.方法二设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up10(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up10(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.10．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50N，F拉着一个重80N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m，问F及摩擦力f所做的功分别为多少？解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)，F在竖直方向上的分力大小为|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，∴摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，∴f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．∴F，f所做的功分别是500eq\r(3)J，－22J.[实力提升](20分钟，40分)11．假如一架飞机先向东飞行200km，再向南飞行300km，设飞机飞行的路程为skm，位移为akm，则()A．s>|a|B．s<|a|C．s＝|a|D．s与|a|不能比较大小解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.答案：A12．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上两点，且|AB|＝eq\r(5)，则eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))等于________．解析：由已知得△ABC为正三角形，向量eq\o(AC,\s\up10(→))与eq\o(CB,\s\up10(→))的夹角为120°，所以eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\r(5)·eq\r(5)cos120°＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a解析：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v－a，设eq\o(OA,\s\up10(→))＝－a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝－2a，eq\o(PO,\s\up10(→))＝v，因为eq\o(PO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(PA,\s\up10(→))，所以eq\o(PA,\s\up10(→))＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为eq\o(PO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))，所以eq\o(PB,\s\up10(→))＝v－2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是eq\o(PB,\s\up10(→)).由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝eq\r(2)a，即|v|＝eq\r(2)a，所以实际风是每小时eq\r(2)a千米的西北风．14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．解析：(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，因为D为AB的中点，所以Deq\f(n,2)，eq\f(m,2)，所以|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝eq\r(m2＋n2)，所以|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up10(→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)因为E为CD的中点，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4))).设F(x,0)，则eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up10(→))＝(x，－m)．因为A，E，F三点共线，所以eq\o(AF,\s\up10(→))＝λeq\o(AE,\s\up10(→)).即(x，－m)＝λeq