2024-2025学年广东省佛山市九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x−1x=0 B.x2−2x+1=0 2.下列图形中，不一定是轴对称图形的是(

)A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3.一元二次方程x2−3x=0的解是(

)A.x1=0，x2=−3 B.x=−3

C.x=3 4.菱形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A.两组对边分别平行 B.对角线互相平分 C.四个角都为直角 D.对角线互相垂直5.根据如表表格的对应值，估计关于x的方程x2+mx−3=0的一个解的范围是(

)x0.40.50.60.70.8x−1.24−0.75−0.240.290.84A.0.4<x<0.5 B.0.5<x<0.6 C.0.6<x<0.7 D.0.7<x<0.86.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是(

)A.AB=AC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥AC7.小高和小明参加了国家智慧教育平台开展的“读经典，我思考”主题读书活动，打算从《红星照耀中国》、《红岩》和《长征》三本书中随机挑选1本阅读，则小高和小明恰好选中同一本书的概率为(

)A.12 B.13 C.148.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为(

)A.30 B.28 C.24 D.209.如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若∠ACB=30°，AB=12，则MN的长为(

)A.12B.8C.6D.410.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法，以方程x2+2x−35=0，即x(x+2)=35为例说明，记载的方法是：构造如图.可以得到大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5.则在下面四个构图中，能正确说明方程A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若x=2是关于x的一元二次方程x2−c=0的根，则c=______．12.在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同.小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率.并将多次实验结果制成如表：投球的次数1002003005001000150020003000摸到白球的频数70144219372748112715022247摸到白球的频率0.7000.7200.7300.7440.7480.7520.7510.749根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是______.(精确到0.01)13.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，要使四边形AFDE为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是____(添加一个条件即可)．14.如果n是关于x的一元二次方程2x2+3x−1=0的一个解，则6n15.如图，正方形ABCD的边长是8，E是AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE折叠，点B的对应点是F，连接DF，则△CDF的面积是______．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题7分)

解方程：

(1)4x2−7x+3=0：

17.(本小题7分)

如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C均在格点上．

(1)在格点上找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，并把此菱形画出来(仅用无刻度的直尺，在网格中画出，不要求写作法)；

(2)求(1)中的菱形的面积．18.(本小题7分)

甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后.背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

(1)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是______．

(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜.请利用画树状图或列表的方法，求出甲、乙获胜的概率，并判断此游戏是否公平？为什么？19.(本小题9分)

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC交于点E，F，与BD交于点O，连接BE，DF．

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若AB=3，AD=6，求菱形BEDF的周长．20.(本小题9分)

某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．

(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．

(2)2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？21.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m−1=0．

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若x12x22.(本小题13分)

综合与实践：项目主题花园规划设计项目情境在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园.以下是小明对花园规划设计的过程．活动任务一爷爷要求小明构思一种规划方案，确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙、丙、丁四种方案(其中阴影部分为花园)，

驱动问题一(1)爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造．

①若甲方案中花园周围小路的宽为a m，则花园的长可以表示为______m，宽可以表示为______m(用含有a的代数式表示)；

②若乙方案中花园宽为bm，则花园区域的面积可以表示为______m2(用含有b的代数式表示活动任务二在综合考虑了花园的美观性和实用性之后，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造．驱动问题二(2)请计算花园周围小路的宽度是多少？活动任务三为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园.爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为16m，另外三边用篱笆围起来，且篱笆围成的面积为140m2．驱动问题三(3)若篱笆的总长度为32米，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个2米宽的门.设垂直于观赏竹区域的篱笆长为x m，平行于观赏竹区域的篱笆长为y m．

①直接写出y关于x的函数关系式：

②求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？23.(本小题14分)

已知菱形ABCD中∠ADC=60°，点F是射线DC上一动点(不与C、D重合)，连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．

(1)若点F在边CD上，且CF<12CD，过点C按如图所示作∠HCG=60°并交AE于点G．

①证明：∠DAH=∠DCH；

②猜想△GEC的形状并说明理由．

(2)若菱形ABCD边长为4，当△BCH为等腰三角形时，求BE的长．

参考答案1.B

2.A

3.D

4.D

5.C

6.B

7.B

8.A

9.C

10.D

11.4

12.0.75

13.AB=AC(答案不唯一，如：∠B=∠C)

14.2027

15.96516.解：(1)4x2−7x+3=0，

(−x+1)(−4x+3)=0，

−x+1=0或−4x+3=0，

x1=1，x2=34；

(2)x(x+3)=x+3，

17.解：(1)如图所示，四边形ABDC即为所求；

(2)连接AD，

∵BC=22+22=22，AD=18.19.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，

由题意知：EF垂直平分BD，

∴EF⊥BD，BO=DO，

在△BFO和△DEO中，

∠EDO=∠FBO∠DEO=∠BFOOD=OB，

∴△BFO≌△DEO(AAS)，

∴BF=DE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形；

(2)解：由(1)可得，BF=BE=ED，∠A=90°，

在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，

∵AB=3，AD=6，

20.解：(1)设平均下降率为x，

依题意得：200(1−x)2=162，

解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．

答：平均下降率为10%．

(2)设单价应降低m元，则每件的销售利润为(200−m−162)=(38−m)元，每天可售出20+m5×10=(20+2m)件，

依题意得：(38−m)(20+2m)=1150，

整理得：m2−28m+195=0，

解得：m1=1521.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m−1=0，

Δ=(2m)2−4×1×(m−1)=4m2−4m+4=(2m−1)2+3≥3，

故该方程总有两个实数根；

(2)∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m−1=0，

∴由一元二次方程根与系数的关系得得x1x2=m−1，x2223.(1)①证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADH=∠CDH，

∵DH=DH，

∴△ADH≌△CDH(SAS)，

∴∠DAH=∠DCH；

②解：△GEC是等腰三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BC，

∴∠DAH=∠E，∠ADC=∠DCE=60°，

∴∠DCG+∠ECG=60°，

∵∠HCG=∠DCH+∠DCG=60°，

∴∠ECG=∠DCH，

由①知：∠DAH=∠DCH，

∴∠ECG=∠E，

∴CG=EG，

∴△GEC是等腰三角形；

(2)解：分两种情况：

①如图1，BC=BH=4，过点H作HM⊥BC于M，则∠BMH=∠EMH=90°，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°