专题15分解质因数（解析）

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题15分解质因数知识精讲知识精讲专题简析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。典例分析典例分析【典例分析01】把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？【思路引导】先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。【典例分析02】有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？【思路引导】先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。【典例分析03】将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。2、5、14、24、27、55、56、99【思路引导】14=2×755=5×1124=2×2×2×356=2×2×2×727=3×3×399=3×3×11可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。【典例分析04】王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？【思路引导】根据每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=7×7×11，如果每人植7棵，这个班就有7×11－1=76人；如果每人植树11棵，这个班共有7×7－1=48人。【典例分析05】下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。□□×□□=1995【思路引导】要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2＋1＋9＋5=17。真题演练真题演练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022•天津模拟）把18写成质数相乘的形式，正确的是（）A．18＝2×3×3 B．2×3×3＝18 C．18＝2×9 D．18＝3×6【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把18分解质因数，一般先从较小的质数试着分解。【规范解答】解：把18分解质因数是：18＝2×3×3。故选：A。【考点评析】此题主要考查分解质因数的方法及其应用，一般先从较小的质数试着分解。2．（2分）（2020春•新沂市期末）把42分解质因数，下面（）是正确的．A．42＝6×7 B．42＝2×3×7×1 C．42＝2×3×7【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：把42分解质因数为：42＝2×3×7。故选：C。【考点评析】此题主要考查了把一个合数分解质因数的方法。3．（2分）（2015春•宜宾县月考）两个质数的最小公倍数是35，这两个质数是（）A．1和35 B．7和5 C．无法确定【思路引导】根据分解质因数的方法，把35分解质因数即可．【规范解答】解：35＝5×7答：这两个质数是5和7．故选：B．【考点评析】此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法．4．（2分）下列分解质因数正确的是（）A．42＝6×7 B．33＝1×3×11 C．24＝2×2×3 D．12＝4×3【思路引导】根据把一个合数写成几个质因数相乘的形式叫做分解质因数，分析筛选即可选择．【规范解答】解：A是错误的．因为6不是质数．B是错误的．因为1不是质数．C是正确的．因为2和3都是18的质因数．D是错误的．因为4不是质数．故选：C．【考点评析】此题主要考查分解质因数的方法．5．（2分）（2020春•盐城期中）将28分解质因数的正确形式是（）A．28＝1×28 B．2×2×7＝28 C．2×14＝28 D．28＝2×2×7【思路引导】根据分解质因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，就是把这个合数分解质因数．在分解质因数时，把合数写在等号的左边，它的质因数写在等号的右边．据此解答．【规范解答】解：28＝2×2×7答：把28分解质因数是28＝2×2×7．故选：D．【考点评析】此题考查的目的是理解掌握把合数分解质因数的方法及应用．二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）6．（2分）（2022春•梁平区期末）一个数既是12的倍数、又是12的因数，这个数是12；把这个数写成质数相乘的形式是：12＝2×2×3。【思路引导】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此知道一个数既是12的倍数、又是12的因数，这个数是12；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：一个数既是12的倍数、又是12的因数，这个数是12；12＝2×2×3。故答案为：12；12＝2×2×3。【考点评析】明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身以及合数分解质因数的方法是解题的关键。7．（2分）（2021秋•新化县期末）一个两位数，十位上的数是奇数又是合数，个位上的数是质数又是偶数，这个数是92，把它分解质因数可以写成92＝2×2×23。【思路引导】既是奇数又是合数的一位数只有9，既是质数又是偶数的数只有2，据此求出这个两位数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：一个两位数，十位上的数是奇数又是合数，个位上的数是质数又是偶数，这个数是92；92＝2×2×23。故答案为：92；92＝2×2×23。【考点评析】明确既是奇数又是合数的一位数只有9，既是质数又是偶数的数只有2以及分解质因数的方法是解题的关键。8．（2分）（2021春•邗江区校级期末）在横线里填合适的质数。91＝13×7；15＝2+13。【思路引导】一个数的因数只有l和它本身，这样的数就是质数；据此解答即可。【规范解答】解：91＝13×7；15＝2+13。故答案为：13；7；2；13。【考点评析】本题考查质数，明确质数的定义是解题的关键。9．（2分）（2021春•萍乡期末）有三个质数，它们的乘积是165。如果用这三个质数组成一些分数，这些分数中最大的是11。【思路引导】把165分解质因数，写成几个质数相乘的形式，即165＝3×5×11，用这三个质数组成最大的分数，写成带分数的形式，整数部分取11，分数部分写成，据此可写出这个最大的分数。【规范解答】解：165＝3×5×11，这三个质数是3、5、11。组成最大的分数是11。故答案为：11。【考点评析】此题主要考查分解质因数的方法以及带分数的意义。10．（2分）（2021春•吴中区期末）一个数的最大因数是18，最小倍数也是18，这个数是18。把这个数分解质因数，结果是18＝2×3×3。【思路引导】根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，得出这个数的最大因数是18，再把18写成几个质数相乘的形式；据此解答即可。【规范解答】解：一个数的最大因数是18，最小倍数也是18，这个数是18；把这个数分解质因数，结果是18＝2×3×3。故答案为：18；18＝2×3×3。【考点评析】此题主要考查约数与倍数的意义及分解质因数的方法。11．（2分）（2021春•舞钢市期中）210分解质因数是210＝2×3×5×7，B＝2×3×11，C＝2×5×7，那么210、B和C这三个数的最小公倍数是2310，最大公约数是2．【思路引导】（1）把210分解质因数就是把210分解成几个质数相乘的形式；（2）求210、B和C这三个数的最小公倍数，要先求出三个数公有的质因数，两个数公有的质因数，和独有的质因数，然后把这三种质因数相乘即可得出这三个数的最小公倍数；这三个数的公有的质因数只有2，所以最大公因数是2；据此解答．【规范解答】解：（1）210＝2×3×5×7，（2）因为B＝2×3×11，C＝2×5×7，210＝2×3×5×7，所以，210、B和C这三个数的最小公倍数是：2×3×5×7×11＝2310，210、B和C这三个数的最大公约数是2；故答案为：210＝2×3×5×7，2310，2．【考点评析】本题考查了因数倍数的相关知识，容易出错的地方是：求三个数的最小公倍数时，要特别注意每两个数之间的公有的质因数．12．（2分）（2020春•楚雄州期末）把合数12写成两个质数相加的形式：12＝5+7。【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；12以内的质数有：2、3、5、7、11；从中找到两个质数相加，和是12的即可。【规范解答】解：12＝5+7故答案为：5；7。【考点评析】掌握质数的定义是解题的关键；注意1既不是质数也不是合数。13．（2分）（2019•山西模拟）把72写成几个质数相乘的形式为72＝2×2×2×3×3．【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解．【规范解答】解：72＝2×2×2×3×3故答案为：72＝2×2×2×3×3．【考点评析】此题主要考查分解质因数的方法及其应用．一般先从较小的质数试着分解．14．（2分）（2016春•襄城县校级月考）把能被2、3、5整除的最小三位数分解质因数是120＝2×2×2×3×5．【思路引导】能同时被2、3、5整除的数要满足个位上的数是0，而且各个数位上的数的和是3的倍数，据此可知这样的最小三位数是120；进而根据分解素因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解得解．【规范解答】解：能同时被2、3、5整除的最小三位数是120120＝2×2×2×3×5．故答案为：120＝2×2×2×3×5．【考点评析】本题主要考查了2、3、5的倍数特征和分解质因数的方法．三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）15．（2分）（2022春•乐东县期末）把210分解质因数是2×3×5×7＝210。√（判断对错）【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：把210分解质因数是210＝2×3×5×7所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】熟练掌握合数分解质因数的方法是解题的关键。16．（2分）（2022春•孟津县期末）分解质因数就是把一个自然数用质数相乘的形式表示出来，如17＝1×17。×（判断对错）【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：分解质因数就是把一个合数（只有合数才能分解质因数）写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。17．（2分）（2021秋•邱县期末）把24分解质因数是24＝2×3×4．×．（判断对错）【思路引导】根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．由此解答．【规范解答】解：把24分解质因数：24＝2×2×2×3；所以把24分解质因数是24＝2×3×4说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题主要考查分解质因数的方法．18．（2分）（2021春•襄汾县期中）24＝3×8，3和8都是24的质因数。×（判断对错）【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：24＝2×2×2×3，所以24的质因数是2，3。故原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】此题主要考查分解质因数的方法：把一个合数写成几个质数的连乘积形式。19．（2分）（2016春•合肥月考）把12分解质因数是12＝1×3×4．×（判断对错）【思路引导】分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把12分解质因数．【规范解答】解：把12分解质因数是：12＝2×2×3；所以原题说法错误．故答案为：×【考点评析】本题主要考查分解质因数的意义，注意是质数相乘的形式．四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）20．（6分）（2022春•简阳市期中）把下面各数写成质数相乘的形式。814812191【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：81＝3×3×3×348＝2×2×2×2×3121＝11×1191＝7×13【考点评析】熟练掌握合数分解质因数的方法是解题的关键。21．（6分）（2021春•浉河区期中）把下面各数写成几个质数相加的形式。18＝7+11＝5+1350＝47+3＝37+13＝19+3120＝13+7＝17+310＝2+3+5【思路引导】把50以内的质数都写出来，从中选择符合题意的，即可解决。【规范解答】解：18＝7+11＝5+1350＝47+3＝37+13＝19+3120＝13+7＝17+310＝2+3+5故答案为：7，11，5，13，47，3，37，13，19，31，13，7，17，3，2，3，5。【考点评析】熟练掌握50以内的质数是解决此题的关键。五．解答题（共8小题，满分50分）22．（6分）（2022春•黔江区期末）一个长方体的长、宽、高的数值都是质数，它的体积是105立方厘米，它的棱长和是多少厘米？【思路引导】因为长方体的体积＝长×宽×高，长方体的长、宽、高的数值都是质数，根据分解质因数的方法，把105分解质因数，求出长、宽、高分别是多少，再根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，代入数据计算即可。【规范解答】解：105＝3×5×7（3+5+7）×4＝15×4＝60（厘米）答：它的棱长和是60厘米。【考点评析】熟练掌握分解质因数的方法和长方体棱长总和的求法是解题的关键。23．（6分）（2022春•偃师市期中）先从下面的数中圈出合数，再把它们分解质因数。16、59、38、43、87、91、97【思路引导】除了1和它本身还有其它的因数，这样的数是合数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。【规范解答】解：16＝2×2×2×238＝2×1987＝3×2991＝7×13【考点评析】熟练掌握合数的特征以及合数分解质因数的方法是解题的关键。24．（6分）（2021春•新沂市期中）先从下面的数中圈出合数，再把它们分解质因数。【思路引导】自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数叫做合数；分解质因数的方法，一个合数可以分解成几个质数连乘积的形式，叫做分解质因数。【规范解答】解：27＝3×3×339＝3×13119＝7×1745＝3×3×5【考点评析】此题考查的目的是理解质数和合数、分解质因数的概念及意义，掌握分解质因数的方法。25．（6分）（2022春•大方县期中）把下面各数分解质因数。84，108，91，60【思路引导】根据分解质因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘积的形式叫做把这个合数分解质因数。据此解答。【规范解答】解：84＝2×2×3×7108＝2×2×3×3×391＝7×1360＝2×2×3×5【考点评析】此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法。26．（6分）（2022春•通城县期中）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。小明说：28也是完全数。他说得对吗？请写出你的验证过程。【思路引导】由题目可知，如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数“。依照“完美数”的概念，可先列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证。【规范解答】解：他说的对。因为28的因数有：1、2、4、7、14、28，这几个因数的关系是：1+2+4+7+14＝28。所以28是完美数。【考点评析】通过题目举例，能够初步理解“完美数”的含义，运用因数的知识进行解答，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身。27．（6分）（2022春•贵阳期中）先从下面的数中圈出合数，再把它们分解质因数。29，16，51，56，87，91【思路引导】除了1