专题03 函数的概念与性质（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）

专题03函数的概念与性质目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 4考点一：函数的概念 4考点二：函数的表示 5考点三：函数的单调性与最大（小）值 6考点四：函数的奇偶性 7考点五：幂函数 8考点六：函数的应用（一） 9实战能力训练 12明晰学考要求1、体会集合语言和对应关系刻画函数的概念；2、了解构成函数要素，能求简单的函数定义域；3、会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用；4、了解简单的分段函数，并能简单应用；5、会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值；6、了解奇偶性的概念；7、了解周期性的概念基础知识梳理1、函数的概念设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.4、函数的单调性（1）单调性的定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（2）单调性简图：（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．5、函数的最值（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最大值（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最小值6、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称7、函数对称性（1）轴对称：若函数关于直线对称，则①；②；③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③（2）点对称：若函数关于直线对称，则①②③8、幂函数定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．9、五种常见幂函数函数图象性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点10、常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(，为常数，)二次函数模型(，，为常数，)分段函数模型幂函数模型(，，为常数，)考点精讲讲练考点一：函数的概念【典型例题】例题1．（2024福建）函数的定义域为（

）A． B． C． D．例题2．（2024云南）已知函数，则（

）A． B． C．2 D．1例题3．（2024浙江）若，，则（

）A．55 B．190 C．210 D．231【即时演练】1．下列各组函数中为同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．已知函数满足，则（

）A．−2 B．1 C．4 D．7考点二：函数的表示【典型例题】例题1．（2024安徽）已知函数，则（

）A． B．1 C．2 D．3例题2．（2024浙江）已知函数（表示不超过的最大整数），则.例题3．（2024江苏）已知函数满足，且，则．【即时演练】1．函数的值域是（

）A． B． C． D．2．若函数的部分图象如图所示，则（

）

A． B． C． D．3．已知函数，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．6考点三：函数的单调性与最大（小）值【典型例题】例题1．（2023新疆）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2024北京）已知则；的最大值为．例题3．（2023吉林）已知函数．(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；(2)若，求实数的取值范围．【即时演练】1．已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若在R上单调递增，则实数的取值范围为．3．已知函数(1)证明：函数在区间上是增函数；(2)当，求函数的值域.考点四：函数的奇偶性【典型例题】例题1．（2024安徽）已知函数，若的图象关于原点对称，则实数.例题2．（2024福建）已知函数(1)判断函数的奇偶性，并说明理由(2)当时，恒成立，求k的取值范围.例题3．（2024安徽）已知函数是奇函数，且(1)求的值；(2)判断函数在上的单调性，并加以证明；(3)若函数满足不等式，求实数的取值范围．【即时演练】1．已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A．－2 B．－1 C．1 D．12．已知函数为偶函数，则实数．3．已知函数是上的偶函数，当时，.(1)求函数的解析式，并画出具体函数图象；(2)若，求实数m的取值范围.考点五：幂函数【典型例题】例题1．（2024湖南）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．2 B． C． D．例题2．（2023江苏）已知幂函数在0,+∞上单调递减，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．1例题3．（2023宁夏）已知幂函数的图象过点，则【即时演练】1．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（

）A．0,2 B． C． D．2．已知幂函数在上单调递减，则的值为.3．已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是；若，则考点六：函数的应用（一）【典型例题】例题1．（2024浙江）有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（

）A．2 B．3 C． D．例题2．（2022浙江）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝厘米．例题3．（2023安徽）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍．(1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式；(2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．【即时演练】1．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元.(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？(2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？2．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为fx元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．(1)分别求函数fx，的解析式；(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？3．学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．战能力训练一、单选题1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．下列选项中与是同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知，则（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知点在幂函数的图象上，则（

）A．4 B．5 C．6 D．75．函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

6．函数在上是增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若函数是偶函数，且在上单调递增，f3=0，则不等式的解集为（

）．A．B．C．D．8．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（

）A． B．C． D．二、多选题9．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在区间上的最大值为3，最小值为D．在上有最大值3，有最小值10．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表：12343212（1）；（2）不等式的解集为．12．若函数，，若的最小值为2，则四、解答题13．已知关于x的不等式的解集为或.(1)求a、b的值；(2)若函数，求值域.14．已知，．(1)求证：函数在区间上是增函数；(2)求函数在区间上的值域.15．已知

(1)将写出分段函数的形式；(2)画出的图象，写出的单调增区间；16．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解