四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题 含解析

秘密★启用前【考试时间：2024年10月30日15：00—17：00】绵阳市高中2022级第一次诊断性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由，可得，所以，所以.故选：B2.“”，是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若，则，因此，当，时，，所以“”，是“”的充分不必要条件.故选：A3.已知，且满足，则的最小值为（）A.3 B. C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得的范围，从而求得的最小值.【详解】，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D4.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）A.30万元 B.32万元 C.36万元 D.40万元【答案】D【解析】【分析】先得求数据的中心点，代入得，再由求得即得.【详解】，，因过点，故，得，故当时，，得，故选：D5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A，令，，，所以是偶函数，故A错误；对于B，和上单调递增，在和上单调递减，故B错误；对于C，令，，，所以是奇函数，又，所以是R上的增函数，故C正确；对于D，令，，则，所以函数在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D错误.故选：C.6.已知为第一象限角，且，则（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两角和正切公式结合已知条件可求出，再结合二倍角公式化简求值，即可得答案.【详解】由题意知第一象限角，且，故，解得或（舍去），则，故选：B7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（）（参考数据：）A.33h B.35h C.37h D.39h【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出常数，然后再令即可解出.【详解】依题意，，解得，即，当时，，即，解得，所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h.故选：C8.已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令，则，当时，ℎ′x<0，则ℎx当时，ℎ′x>0，则ℎx令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线；由关于x的不等式，可知，当时，，即有；当时，，即有；作出函数图象如图：要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个，显然不能满足题意，故需满足，即，解得，即的取值范围为，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列an的前n项和为，且，则（）A. B.C.是等比数列 D.存在大于1的整数n，k，使得【答案】AB【解析】【分析】通过与的关系，作差得到数列是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可.【详解】由，可得两式相减可得：，又，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，，所以，A正确；，所以，B正确；由，可得，显然，可判断不是等比数列，C错误；若，即，也即，显然不存在大于1的整数，使得等式成立，D错误；故选：AB10.已知函数在上有且仅有4个零点，则（）A.B.令，存在，使得为偶函数C.函数在上可能有3个或4个极值点D.函数在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据在上有且仅有4个零点，可确定，进而解得，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】对于A，，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，∴，故A正确；对于B，，为偶函数，则，即，∵∴取，为偶函数,满足题意，故B正确；对于C，x∈0,π，∵，，∴函数在上可能有4个或5个极值点，故C不正确；对于D，若，则，∵，∴，∴函数在上单调递增.故D正确；故选：ABD.11.已知函数的定义域为R，不恒为0，且，则（）A.可以等于零 B.的解析式可以为：C.曲线fx−1为轴对称图形 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可得或，分类讨论可得，判断A；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B；结合B的分析以及图象的平移可判断C；判断出是以为首项，为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令，可得，可得，解得或，当时，则可得，则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误；令，可得，所以为偶函数，因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确；因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确；令，则可得，所以，又，解得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.记内角，，对边分别为，，．已知，则______．【答案】【解析】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由，故，则，故.故答案为：.13.已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数的定义域为，由，得，令函数，，则函数图象关于直线对称，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为，观察图象得，所以的零点之和为.故答案为：14.若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据函数的导数，对分类讨论，再结合的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】，当时，，当时，f′x<0，当时，f′x所以在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，令，可得，若，即时，则时，f′x>0，函数单调递增，时，f′x<0，函数所以是函数的极大值点，符合题意；若即时，则时，f′x>0，函数单调递增，时，f′x<0，函数所以是函数的极小值点，不符合题意；若即时，则时，f′x≥0，函数单调递增，函数无极值点，不符合题意.综上，当时，是函数的极大值点.故答案为：【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当时，分析函数单调性判断是否为极大值点，当时，根据的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】（1）先填写列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）计算的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为.【小问2详解】，所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，（1）求的面积；（2）若，求A．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在中，由余弦定理及，得，整理得，而，所以的面积.【小问2详解】由（1）及正弦定理得，即，于是，即，整理得，即，因此，即，由，得，解得或，所以或.17.已知数列满足，且是与的等比中项．（1）若，求的值；（2）若，设数列的前项和分别为．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）求．【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）【解析】【分析】（1）先得，，利用是与的等比中项可得；（2）（ⅰ）先求得，利用是与的等比中项可得，由累乘法可得，进而可得；（ⅱ）先得，利用等差数列前项和公式可得.【小问1详解】由可得，，由题意可知是与的等比中项，故，可得，即，又因，故，故【小问2详解】（ⅰ）由得，由题意可得，得，故，故，，故，（ⅱ），18.已知函数．（1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有唯一零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）有3条切线，（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当时，，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当时，，，设切点为，因为切线过点0,2，所以切线斜率存在，故可设切线方程为，则，化简可得，即，由的判别式知方程有2个不等实根且不为1，故有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故，所以切线方程为.【小问2详解】，当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以或时，f′x>0，单调递增，当时，f′x<0，当时，，所以或时，f′x>0，单调递增，当时，f′x<0，综上，时，在上单调递增，无递减区间；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.【小问3详解】当时，，函数仅有1个零点1；当时，由（2）知，的极大值为，且当时，，若有唯一零点，则，解得，故，当时，由（2）知，的极大值为，同理，若有唯一零点，则，解得，故，综上，实数a的取值范围【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键.19.已知函数，在上的最大值为．（1）求实数a的值；（2）若数列满足，且．（ⅰ）当时，比较与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：．【答案】（1）a=2（2）(1)，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断的单调性求出最大值得解；（2）（i）由已知结合基本不等式可得，利用数学