人教A版高中数学必修5《二章-数列-2.1-数列的概念与简单表示法-信息技术应用-估计√2的值》示范课教案-11

信息技术应用估计的值教学目标： 1.进一步熟悉数列通项公式和递推公式；2.感受信息技术应用在解决一些数学问题上的优势；3.通过信息技术应用感受数学的美；教学重点：数列通项公式和递推公式；教学难点：数列通项公式和递推公式；教学方法：启发法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）背景引入我们知道，边长为1个单位长度的正方形的对角线长是。最早发现并证明是无理数的，就是毕达哥拉斯学派的数学家希帕索斯。但无理数的发现直接触犯了毕达哥拉斯学派的根本信条-----------"万物皆数",从而引发了第一次数学危机。希帕索斯使用了“几何法”证明为无理数，而今天我们可以多数使用代数方法证明。如用反证法证明是无理数。（II）讲授新课为了得到的更为精确的近似值，历史上出现过许多估计的方法。例如，可以用根号2的不足近似值来估计它的大小。当依次取定精确度1,0.1,0.01,0.001,...时，的不足近似值构成无穷数列：1,1.4,1.41,1.414,...用程序框图和程序语句表达你的算法。程序框图对应的程序语句（VB语言）：D=0.1A=1DOIF(A+D)^2<=2THENA=A+DELSE PRINTA D=D/10ENDIFLOOPUNTILD<=0.000001END程序框图对应的程序语句（linuxshell语言）：#!/bin/bashD=0.1A=1C=1i=1jindu=6#规定精度，为10^（-jindu）----eq\o\ac(○,1)jindu2=$(echo"scale=$jindu;(1/10)^($jindu+1)"|bc-l)while((C==1));doE=$(echo"scale=$jindu;($A+$D)^2"|bc-l) F=`expr$E\>2` if[$F-eq0];then A=$(echo"scale=$jindu;($A+$D)"|bc-l) echo"a($i)=$A" ((i++)) sleep0.03s else D=$(echo"scale=$jindu;$D/10"|bc-l) fi C=`expr$D\>$jindu2`doneecho"～～～已达规定精确度10^(-$jindu)，根号2的不足近似值为～～～"echo"$A"运行程序框图对应的程序语句（linuxshell语言）所得的结果如下：a(1)=1.1a(2)=1.2a(3)=1.3a(4)=1.4a(5)=1.410000。。。a(14)=1.414212a(15)=1.414213如果将程序语句（linuxshell语言）中的第5行中jindu=6改成jindu=66。则将精确度从改成，并执行程序。程序执行到第332步时（用时1秒），就达到了规定精确度。a(332)=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990你还能想到其他估计的方法吗?连分数展开式：构造一个（渐近）近似值数列的递推公式：将上面递推公式写出对应的程序语句（linuxshell语言）：#!/bin/bashi=1A=1while((i<=100));do echo"a($i)=$A"#打印a1,a2,a3,... A=$(echo"scale=66;1+(1/(1+$A))"|bc-l)#运算公式 ((i++))#令i增加1done程序执行到第87步时（用时不到1秒），就达到了规定精确度。a(87)=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990你还能想到其他估计的方法吗?构造一个（渐近）近似值数列的递推公式：将上面递推公式写出对应的程序语句（linuxshell语言）：#!/bin/bashi=1A=2while((i<=100000));do echo"a($i)=$A"#打印a1,a2,a3,... A=$(echo"scale=66;($A)*(1+((-1)^($i))/(2*($i)+1))"|bc-l)#运算公式 ((i++))#令i增加1done 程序执行到第100000步时（用时4分钟），连精确度都没有达到。通过3种算法对比，感受各种算法的优劣，感受数学的美。（V）课时小结：1.进一步熟悉数列通项公式和递推公式；2.