第38讲数值估算问题

第38讲数值估算问题【典型例题】例1．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意实数都成立，记的最大值为，求证：．（证明可能要用到的近似值：，，【解析】解（Ⅰ），，设，．时，，时，，的单调增区间为，．（Ⅱ）证明：对任意实数都成立，设，，，．设，在上递增，，（1），存在唯一的，使．时，在上递减，，，在，上递增．又，（1），，时，，（1）．存在唯一实数，使，有．即时，，，时，，为唯一的极小值点，．在递减，例2．已知函数．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．求的表达式；估计的近似值（精确到．参考数值：，，．【解析】（本小题满分12分）解：（1）由题得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，又，且，所以是的极小值点，故．而，于是，解得．下面证明当时，．当时，，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即符合题意．综上，．（2）由于人生日都不相同的概率为，故人生日至少有两人相同的概率为．由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，由得．记，则，即，由参考数值得，于是，故．例3．已知，，曲线在点，（1）处的切线方程为．（1）求，的值；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）已知，试估算的近似值（精确到．【解析】解：（1），，由于在点，（1）处的切线方程为，则（1），（1）即，，解得，；（2），由得，即，令则，①当时，恒成立，即有在上单调递增，则（1），这与矛盾，不合题意；若，令△，②当时，△恒成立且即有恒成立，即恒成立即在上单调递增，即有（1），这与矛盾，不合题意；③当时，△，方程有两个不等实根，（不妨设，由韦达定理得，，即，则当时，恒成立，即恒成立，即有在上单调递增，则（1），这与矛盾，不合题意；④当时，△，方程有两个不等实根，（不妨设，，即有，即有在单调递增，当时，，即有在上单调递增，即有（1），这与矛盾，不合题意；⑤当时，△且，则恒成立，即有在，上单调递减，（1），合题意．综上所述，当，时，恒成立；（3）对任意的，，由（2）知，当时，恒成立，即，可令，可得，即，令，可得，此时，则，可令有，，取，．例4．青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．已知函数，，若，则曲线在点，（1）处的曲率为．（1）求；（2）若函数存在零点，求的取值范围；（3）已知，，，证明：．【解析】（1）解：，若，则，，，因为曲线在点，（1）处的曲率为，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函数存在零点，则方程在上有解，即在上有解，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），当且仅当时取等号，从而，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时等号成立，当时，，所以，解得，即实数的取值范围是，．（3）证明：由（2）得，则，则，又，则，所以．例5．关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.(1)证明：有唯一零点，且；(2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：在处作曲线的切线，交轴于点；在处作曲线的切线，交轴于点；……在处作曲线的切线，交轴于点；可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.（i）设，求的解析式(用表示)；（ii）证明：当，总有.【解析】(1)证明：，定义域为，所以，在上恒成立，所以函数在上单调递增，因为，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且.(2)（i）由（1）知，所以，曲线在处的切线斜率为，所以，曲线在处的切线方程为，即令得所以，切线与轴的交点，即，所以，.(ii)对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为：，故令，令所以，，所以，当时，单调递增，当时，单调递减；所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，另一方面，由（i）知，，且当时，，（若，则，故任意，显然矛盾）因为是的零点，所以因为为单调递增函数，所以，对任意的时，总有又因为，所以，对于任意，均有，所以，所以，综上，当，总有例6．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）利用（1）中的切线方程求的近似值.【解析】（1）由题得，所以切线的斜率，所以切线方程为.所以切线方程为.（2）由题得，所以.例7．（1）求曲线在点处的切线方程.（2）利用（1）中的切线方程求的近似值.【解析】（1）因为，所以，所以，所以切线的斜率，故切线方程为，即；（2）当时，，所以；例8．已知函数(1)当时，求函数在处切线的方程；(2)是否存在实数，使得只有唯一的正整数，对于恒有？若存在，求出的取值范围及正整数的值，若不存在，请说明理由？（下表的近似值仅供参考）【解析】(1)当时，函数，求导，则切线的斜率又，即切点，故函数在处切线的方程：(2)函数，则，，求导，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得最大值，即，对于恒有，转化为，即，令，求导求二阶导，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且，存在使得，又在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，(3)，(4)，(5)，，，，此时．例9．已知函数.（1）若函数在内为增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）已知，试估算的近似值，（结果精确到0.001）【解析】解:（1）由题,,,在内为增函数,在上恒成立,即,令,则,所以在内为增函数,所以.（2）由题,,,①当时,,则,在内为增函数,,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意；②当时,设,则,在内为减函数,且,,（i）当,时,,在内为增函数,,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意；（ii）当时,,,,使得,则在内为增函数,在内为减函数,则,则在内有且只有一个零点,当且仅当,解得；（iii）当,时,,在内为减函数,,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意,综上所述,.（3）由（1）可知,当时,在内为增函数,所以,即在内恒成立,由（2）可知,当时,在内为减函数,所以,即在内恒成立,综上,有,即在内恒成立,令,则有,可得,即,则,解得,所以的近似值约为1.609.例10．已知函数；（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于恒有：，若存在，请求出k的范围以及正整数a的值;若不存在请说明理由．（下表的近似值供参考）【解析】（Ⅰ），所以在上单调递增，在上单调递减，所以，下面证明：，等价于证明：，设，则，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，则.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以不等式只有唯一的正整数解，即，设，，，又，所以在上单调递减，在上单调递增，结合知存在满足，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，所以，此时.例11．已知函数=.（1）讨论的单调性；（2）设，当时，,求的最大值；（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）【解析】（1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；（2）因为=，所以=.当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；当时，若满足，即时，，而，因此当时，，综上，的最大值为2.（3）由（2）知，，当时，，；当时，，，，所以的近似值为.【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断，容易;对第（2）问,考虑不到针对去讨论；对第（3）问,找不到思路.考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.例12．设函数．（Ⅰ）求证：函数有且只有一个极值点；（Ⅱ）求函数的极值点的近似值，使得；（Ⅲ）求证：对恒成立．（参考数据：）．【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数的知识推证；（Ⅱ）借助题设条件运用函数零点的定义推证；（Ⅲ）依据题设条件,借助（Ⅰ）的结论运用导数的知识求函数的最小值进行推证．试题解析：（Ⅰ）由题意可知，函数的定义域为，且．∵函数与均在上递增，∴在上递增．又∵在区间上的图像是连续的，且，∴在区间上至少有一个零点，记为，且在左右两侧的函数值异号．综上可知，函数有且只有一个变号零点．即函数有且只有一个极值点为．（Ⅱ）∵，且在上的图象连续,，∴的零点，即的极值点，即．∴为的近似值可以取，此时的满足．（事实上，极值点的近似值的取值在区间内都是可以的，只要说理充分即可．）（Ⅲ）∵，且在上图象连续，，∴的零点．的极值点．由（Ⅰ）知，且的最小值为．∵函数在上递减，且，∴．∴对恒成立．【同步练习】1．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)试比较与的大小，并说明理由；(2)若函数有两个不同的零点，证明：.【解析】（1）由题可知：，，而直线的斜率，所以有，解得：或，又因为函数在处有意义，所以，故，所以，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，即，即有，所以.（2）不妨设，所以有，化简得即，，要证，即证，即证，因为，所以即证：，即，设，因为，所以，即证()设()，，所以函数在上单调递增，所以，即，即，即.2．已知，(1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；(2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；(3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.【解析】（1）的导函数为，令，得，列表：极大值所以，函数在上是严格减函数；（2）判断得到，下面证明：由（1），，即，所以，由的单调递增，得到.推广：对于实数，若，则即，以下是证明过程：由（1）知：在上是严格减函数，因为，所以，则，，因为单调递增，所以.（3）因为，可见满足，

下面证明唯一性：①若，由第二问的结论可知，与矛盾；②若，则即，与矛盾；③若，则即，显然不满足，成立，若，由第二问结论可知：，则，于是，与矛盾.综上，是满足条件的唯一一组值.3．已知函数．(1)这比较与的大小；(2)求证：当时，．参考数据：．【解析】（1）令，则设，则，令，则在上为增函数，∵，∴当时．为减函数；当时，为增函数，∴，即．∴在上单调递增，由于，所以当时，当时，．综上可知：（2）当时，要证明，只需证明．由（1）可知，当时，恒成立，因此只需证明当时，即可．设，则，因此当时，单调递增；当时，单调递减所以的最小值只能是与中最小的一个．因为，而．因为，所以，所以，，所以，．所以，当恒成立，即，所以，当时，．4．已知为正整数，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整数的取值的集合.（参考数据：）【解析】（1）令可得：；令可得：.所以在上单调递增，在上单调递减.故的最大值为.（2）因为恒成立，所以，即恒成立，所以.，当或时，因为，所以，所以在上单调递增.因为，此时满足，故或满足条件.当时，令可得；令时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，所以，所以，所以，令，令，，因为在上单调递增，，，所以在上存在唯一的零点.令可得：；令可得：.所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，所以，又，，所以，即.因为，所以.综上，正整数的取值的集合为5．已知函数．(1)若，求a的值；(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．（ⅰ）求的表达式；（ⅱ）估计的近似值（精确到0.01）．参考数值：，，，．【解析】（1）由题意得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，又，且，所以是的极小值点，故．而，于是，解得．下面证明当时，．当时，，，，所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减，所以，即符合题意．综上，．（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为，故n人生日至少有两人相同的概率为．（ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，由（ⅰ）得．记，则，即，由参考数值得，于是，故．6．已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)设，，证明：有且仅有个零点.（参考数据：，.）【解析】（1）已知，设，则，因为，所以，故，所以在上单调递增，即，所以在上单调递减，即，所以的最小值为（2）因为，所以.①当时，设，，所以在单调递增.又，，故，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，.所以在上存在唯一零点，显然，故是的一个零点.②当时，，设，，再设，于是，因为，所以在上单调递减，且，，故，使得.当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，故，使得.当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，，所以在上无零点.③当时，，故在上单调递减.又因为，，所以在上存在唯一零点.④当时，因为，，所以，此时无零点.综上所述，在上有且仅有个零点.7．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：对于任意，恒成立.（参考数据：）【解析】（1）由题意可得定义域为R，.当时，，则在R上单调递增；当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明:因为，且，所以，故，则要证对于任意恒成立，即证对于任意恒成立，即证对于任意恒成立，即证对一切恒成立.设，则.当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.故在处取得极大值，也是最大值，故.因为，所以，即，所以，则.故对一切恒成立，即对一切恒成立.8．已知函数（其中是自然对数底数）.(1)求的最小值；(2)若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：）【解析】（1）函数定义域为，所以在上单调递增，且，所以当时，单调递减；当时，单调递增，.所以.（2）设切点为，则，在处的切线为，由于切线过点，所以，而由（1），在上单调递增，不同的值对应的切线斜率不同设，所以过点可作曲线的两条切线当且仅当关于的方程有两个实根.，①当时，在上单调递减，至多有一个实根，不合题意；②当时，当时，单调递增；当时，单调递减.而时，时，，所以当且仅当时，有两个实根，即当且仅当时，过点可作曲线的两条切线.只需证时，.设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即.（*）设，只需证.1）当时，由，.设，则，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减.而，所以，则.2）当时，，设，则，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增，.综上得：原不等式成立.9．已知函数，其中，函数在上的零点为，函数.(1)证明：①;②函数有两个零点；(2)设的两个零点为，证明：．（参考数据：）【解析】（1）证明：①∵，当时，，∴，∴在单调递增，∵，∴，，∴存在唯一的零点，且．②当时，，，∵，，∴，∴，∴在单调递增，∵，∴，又∵，∴在有唯一的零点，当时，，∴在单调递减，∴，，则在有唯一的零点，∴在有唯一的零点，综上，函数有两个零点．（2）证明：由（1）可知，其中，由得，即，由得，设，则，∵，∴，而时，，∴在单调递减，∴，要证，即证，即证，即证，设，则即证，设，则，（，，取不到等号）∴当时，单调递增，∴，即，故．10．已知函数．证明：(1)在区间内存在唯一极大值点；(2)有且仅有唯一零点．（参考数据：．）【解析】（1）由题可得，设，则，当时，，在区间单调递减，又因为，，由函数零点存在定理，在区间存在唯一零点，当时，，当时，，所以函数在区间存在唯一极大值点；（2）（ⅰ）由（1）当时，，单调递增，，，所以在区间上有唯一零点；（ⅱ）当时，，单调递减，，所以，在区间内不存在零点；（ⅲ）当时，，所以在区间内不存在零点；（ⅳ）下面证明：当时，，因为，令，，则，所以，所以在上单调递增，又，，所以在区间内存在唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以，即在区间内，恒成立，即在区间内单调递减，，所以当时，，在区间内不存在零点；综上，有且仅有唯一零点．11．已知函数有两个极值点，且．(1)求实数m的取值范围；(2)证明：．参考数据：．【解析】（1）∵有两个极值点，∴在有两个变号零点.记，，i.当，，在单调递增，至多有一个零点，不合题意；ii.当，由得，即，故当，∴即在上单调递增，在单调递减，，由得，且当，，令，当，单调递增；当，单调递减，故，且当时等号成立.故，故当时，，综上，由零点存在定理得，当时，在有两个变号零点，即有两个极值点；（2），即，令，，由，故单调递增，故，∴，即，即，由得，故，故要证，即需证，即，令，即需证，又在单调递增，即需证，由（1）得，且由得，由在单调递减，且，故只需证，∵，故，得证.12．已知函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．(1)求的最小值；(2)证明：当时，．参考数据：，．【解析】（1）由题得，又，所以切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为，令得，所以.所以，当时，，函数在单调递增；当时，，函数在单调递减.所以函数的最小值为.所以函数的最小值为0.（2）当时，显然成立.当时，令，所以，所以，所以在单调递增（增函数+增函数=增函数），又，所以恒成立，所以在单调递增，又，所以存在使得即.所以在单调递减，在单调递增.所以.故得证.13．已知函数.(1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内；(2)若有3个零点，求整数的值.参考数据：.【解析】（1）∵，则，令，则，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，且，，∴在内有且仅有一个零点；则在上单调递增，且，，∴在内有且仅有一个零点；综上所述：有两个零点，且分别在区间和内，可设有两个零点为，当时，，当或时，，则在上单调递减，在，上单调递增∴有两个极值点，且分别在区间和内.（2）由题意可得：∵，即∴，解得又∵，则，且为整数，则或0，故整数的值为或0.14．已知函数，．(1)若在区间上存在极值点，求实数的取值范围；(2)求证：当时，对任意，．（参考：，，，）【解析】（1）由题意，在上有变号零点，，令，则，所以函数单调递增，∴，∴，∴的取值范围为．（2）时，，，令，则，当时，，单调递减；此时，，存在唯一的使且当时，，单调递增；当时，，单调递减；且，，∴当时，，当时，，单调递增，且当时，，∴时，，单调递增，且注意到，，∴存在唯一的使，即，且在上单调递减，上单调递增，∴，令，，在上单调递减，∴∴，综上：对有．15．已知函数．(1)记，求的单调区间；(2)若有3个零点，求整数a的值．参考数据：，，，．【解析】（1），则，令，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由（1）知，，而，，所以必存在，，使，且在和上，在上所以在和上单调递增，在上单调递减．要使有3个零点，则必有．由得，，所以，．故．又，所以，；，，所以，．故符合的整数a的值有0和－1．当时，，，，，结合单调性，知在上各存在一个零点；当时，，，，，结合单调性，知在一个零点为0，在上各存在一个零点；故所求整数a的值为0和－1．16．已知函数在处的切线方程为.(1)求实数的值；(2)（i）证明：函数有且仅有一个极小值点，且；（ii）证明：.参考数据：，，，.【解析】（1）定义域为，由题意知，解得.（2）（i）由（1）知，令，则，从而即单调递增又，故存在唯一的使得0极小值从而有且仅有一个极小值点，且（ii），的极小值令，则，从而在上单调递减，，故下证，即证一方面令，则，则在上单调递增，从而另一方面，令，令有0极大值从而从而即成立，故.17．已知函数，，且(1)若，且，试比较与的大小关系，并说明理由；(2)若，且，证明：（i）；（ii）.（参考数据：）【解析】（1）对函数，求导得：，当时，.而，.由，知，因此，唯一且由知，.构造，则.故在单调递增；因此，由知.故，结合单调性知.（2）（i）证明：由题意得.构造，则，.因此.因此.故.因此故.因此.构造，则.而，，因此.（ii）由知.因此.构造，则.因此在上单调递减.因此，故.因此，结合单调性知，故.构造，，则.因此在上单调增，上单调减.而当时，，单调减.因此，.而，因此，因此.因此.18．已知函数．(1)当时，若满足，讨论函数的单调性；(2)当时，若恒成立，试比较a和1.5625的大小．参考数据：，，，．【解析】(1)，因为，所以与均单调递增，从而是上的增函数，又满足，所以是在上的唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增．(2)，当时，原不等式可转化为，令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，又，由于，，所以在上存在唯一零点，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，又，即，∴，由于，即．19．已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)证明：函数在区间内存在唯一的极大值点.（参考数据：，，）【解析】(1)因为，切点为求导，所以切线斜率为，所以函数的图象在处的切线方程为；(2)证明：因为，所以，因为时，函数，均单调递减，所以在区间单调递减，因为，所以，因为，所以，根据零点存在定理可得，存在唯一零点，使得，又在