专题12定比点差法及其应用微点1定比点差法及其应用初步（学生版）

专题12定比点差法及其应用微点1定比点差法及其应用初步专题12定比点差法及其应用微点1定比点差法及其应用初步【微点综述】在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用，全面系统地介绍了“定比点差法”．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念．一、定比分点若，则称点为点的定比分点．若，点在线段上，此时称点为内分点；若，点在线段的延长线上，此时称点为外分点．①点在线段上（）②点在线段的延长线上（）③点在线段的反向延长线上（）补充定义：当时，对应的定比分点可以认为是无穷远点.二、定比点差法原理1．线段定比分点向量公式及坐标公式已知，设，则．证明：证法一：设，.证法二：设，则，利用对应坐标相等即可推出．2．“定比点差法”的由来（1）若点在椭圆上，且点满足，则于是有，整理得，即①（和定比分点坐标公式形式保持一致）．（2）若点在双曲线上，且点满足，则于是有，整理得，即②．（3）若点在抛物线上，且点满足，则于是有，变形得，即③．说明：1.上述表达式①、②、③的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出，该法是“点差法”的更一般的推广而已，当时，“定比点差法”即为“点差法”．2.上述表达式①、②、③的形式与的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理.三、定比点差对称轴轴上点公式对于过轴上的定点或直线和圆锥曲线相交，一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规的韦达定理法要简洁很多！下面给出常用的几个公式.过定点的直线与椭圆相交于两点，设，，则有①截距对偶公式：；②坐标公式：；③拓展公式之：四、定比点差法的应用（一）应用定比点差法求点的坐标例1．已知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，则点的坐标是．【答案】【解析】如图，延长交椭圆于点，由对称性得，则．设，则，又，由点在椭圆上，则于是有，即，联立，解得，则．【评注】由向量数乘的几何意义知//且，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长交椭圆于点，得到，从而得到三点共线，且，于是定点为焦点弦的定比分点，自然想到使用定比点差法．（二）应用定比点差法求离心率例2．已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于和两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由可得：，据此可得：，同理可得：，则：，将点A，B的坐标代入椭圆方程做差可得：，即：，同理可得：，两式相加可得，故：，据此可得：．【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．例3．已知椭圆，过其左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求椭圆的离心率．【解析】设，由得，由得由点在椭圆上，则两式作差得，，联立，得，又，于是有，整理得，两边都除以，得，解得或，又．【评注】处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程法，定比点差法运算量小，过程简洁．（三）应用定比点差法求直线方程例4．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线与椭圆相交于两点，且△的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程．【解析】（1）由已知可得，又，解得所求的椭圆的标准方程为．（2）由，得．设，得，又，由点在椭圆上，得两式作差得，联立，解得，又，解得直线的方程为或．【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得，自然考虑定比点差法（四）应用定比点差法求弦长例5．已知斜率为的直线与抛物线的交于两点，与轴交于点，若，求．【解析】设，由，得，则由点在抛物线上，则于是有，则，联立，得，又，则，由．【评注】由已知条件可知该题可使用定比点差法，得到点的横坐标，再利用，得到，利用抛物线方程得到，求出，最后由得出答案．例6．（2022·上海徐汇·三模）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､．（1）求椭圆的方程；（2）若，的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若､和点共线，求实数的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到，结合的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出两点坐标，由､､三点共线得到方程，化简后得到．【解析】（1）由题意得：焦距为，得，点坐标代入椭圆方程得：，，解得：，，所以椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，，则，，则，易得当时，，故的最大值为．（3）设，，，，则①，②，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，由，及①，代入可得，又，所以，所以，同理可得．故，，因为､､三点共线，所以．将点，的坐标代入，通分化简得，即．【评注】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数．例7.（2022·山西太原·三模）已知椭圆过点离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）当过点M（4，1）的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆的几何性质列方程组求解；（2）由定比分点公式化简得点轨迹方程，由点到直线距离公式求解.【解析】（1）根据题意，解得，椭圆C的方程为.（2）设A（，），B（，），N（x，y），由，得，∴，又，∴，∴点N在直线上，∴．【总结】定比点差法，实际上是直线参数方程的变异形式，核心思想是“设而不求”．它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，代点、扩乘、作差，解决相应的圆锥曲线问题，尤其是遇到定点、成比例等条件时，定比点差法有独特的优势．【针对训练】（2018年高考浙江卷）1．已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．2．已知椭圆，点为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，分别交椭圆于，两点．当直线的斜率为时，此椭圆的离心率为______．3．已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有，求椭圆的离心率．（2022·吉林市教育学院模拟预测）4．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．(1)求抛物线的方程及a；(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．（2022·山东济南·二模）5．已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.（2022·重庆南开中学模拟预测）6．已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．（2022云南红河·模拟预测）7．在平面直角坐标系中，点是以原点为圆心，半径为的圆上的一个动点.以原点为圆心，半径为的圆与线段交于点，作轴于点，作于点.(1)令，若，，，求点的坐标；(2)若点的轨迹为曲线，求曲线的方程；(3)设（2）中的曲线与轴的正半轴交于点，与轴的正负半轴分别交于点，，若点､分别满足，，证明直线和的交点在曲线上.（2022重庆·模拟预测）8．已知椭圆：的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对