第14讲圆的方程（5种题型）（原卷版）

第14讲圆的方程（5种题型）【知识梳理】一．圆的标准方程1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题思路点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．二．圆的一般方程1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝．3．圆的一般方程的特点：（1）x2和y2系数相同，且不等于0；（2）没有xy这样的二次项．以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．三．二元二次方程表示圆的条件1、圆的定义：平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．2、圆的标准方程：圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2．3、圆的一般方程：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（﹣，﹣），半径为的圆；当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（﹣，﹣），；当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形．因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2+E2﹣4F＞0．四．点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．五．关于点、直线对称的圆的方程（1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．（2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．【考点剖析】一．圆的标准方程（共16小题）1．（2022秋•上城区校级期末）若一圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+5）2＝3，则此圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5），32．（2022秋•南关区校级期末）已知圆C和直线及x轴都相切，且过点（3，0），则该圆的方程是（）A． B． C．或 D．或3．（2022秋•水磨沟区校级期末）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣6x﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0 C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝04．（2022秋•西城区校级期末）已知O为原点，点A（2，﹣2），以OA为直径的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝8 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝85．（2022秋•泉州期末）若圆M的圆心在直线y＝x上，且与两坐标轴都相切，则圆M的标准方程可以为.（写出满足条件的一个答案即可）6．（2022秋•大通县期末）已知圆心为（﹣2，3）的圆与直线x﹣y+1＝0相切，则该圆的标准方程是．7．（2022秋•阿拉善左旗校级期末）已知圆心为（﹣2，3）的圆与直线x﹣y+1＝0相切，则该圆的标准方程是（）A．（x+2）2+（y﹣3）2＝8 B．（x﹣2）2+（y+3）2＝8 C．（x+2）2+（y﹣3）2＝18 D．（x﹣2）2+（y+3）2＝188．（2022秋•苏州期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m9．（2022秋•广州期末）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2﹣2＝0，则圆心C的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，﹣2）10．（2022秋•泸县校级期末）已知O为坐标原点，A（2，2），则以OA为直径的圆方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8 D．（x+1）2+（y+1）2＝811．（2022秋•天心区校级期末）圆心为（1，﹣2），且与x轴相切的圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝412．（2022秋•西湖区校级期末）已知点A（4，0），O（0，0），B（0，﹣3），则△AOB的内切圆的方程为．13．（2022秋•郊区校级期末）以点P（2，﹣3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是．14．（2022秋•香洲区校级期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点A、B和在直线l上的动点P，当l与△APB的外接圆相切时，∠APB最大．若A（0，2），B（0，8），P是x轴正半轴上一动点，当P对线段AB的视角最大时，△APB的外接圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25 B．（x﹣4）2+（y﹣5）2＝16 C．（x﹣5）2+（y﹣4）2＝16 D．（x﹣4）2+（y﹣5）2＝2515．（2022秋•怀化期末）已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过A，P，N三点的圆的圆心坐标为．16．（2022秋•道里区校级期末）对非原点O的点M，若点M'在射线OM上，且|OM|⋅|OM'|＝r2，则称M'为M的“r﹣圆称点”，图形G上的所有点的“r﹣圆称点”组成的图形G'称为G的“r﹣圆称形”．A（1，0）的“3﹣圆称点”为，圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5（不包含原点）的“3﹣圆称形”的方程为．二．圆的一般方程（共5小题）17．（2022秋•浦东新区校级期末）已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）18．（2022秋•华容县期末）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心坐标和半径分别是（）A．（−1，−2），11 B．（−1，2），11 C．（−1，−2）， D．（−1，2），19．（2022秋•平谷区期末）已知圆x2+y2﹣3x+my+1＝0关于y＝x对称，则实数m等于（）A． B．﹣3 C．3 D．20．（2022秋•泸县校级期末）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+4m＝0．（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）当m＝1时，曲线C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，求|MN|的值．21．（2022秋•阜南县期末）已知三角形ABC的顶点坐标分别为：A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求其外接圆的方程．三．二元二次方程表示圆的条件（共6小题）22．（2022秋•亭湖区校级期末）方程x2+y2+2y+m＝0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]23．（2022秋•金华期末）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay﹣10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）24．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲线是圆，则k的值为（）A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]25．（2023春•黄浦区校级月考）方程x2+y2﹣2x+4y+m＝0表示一个圆，则m的取值范围是．26．（2022秋•蓟州区校级期中）已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2﹣3m＝0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求圆的周长的最大值．27．（2022秋•新津县校级月考）已知方程x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9＝0（t∈R）表示的图形是圆．（1）求t的取值范围，并求其中面积最大的圆的方程；（2）若点P（3，4t2）恒在所给圆内，求t的取值范围．四．点与圆的位置关系（共7小题）28．（2022秋•长宁区校级期末）已知点（1，1）在圆x2+y2+ax+a＝0外，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，0） C．（﹣1，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）29．（2022秋•龙岩期末）2000多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年．已知O为原点，，若，则线段PM长的最大值为（）A． B． C． D．30．（2022秋•越秀区期末）已知圆C：x2+y2﹣2mx+2m+3＝0的一条切线过点P（2，1），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，4） C．（3，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，4]31．（2023春•上高县校级月考）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，则实数m的取值范围为．32．（2022秋•大丰区校级期末）点P（5a+1，12a）在圆（x﹣1）2+y2＝1的内部，则a的取值范围是．33．（2021秋•新化县期末）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0，点P（3，0）．（1）若点P在圆C外部，求实数a的取值范围；（2）当a＝﹣1时，过点P的直线l交圆C于A，B两点，求△ABC面积的最大值及此时直线l的斜率．34．（2022秋•阿城区校级月考）已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y＝4上．（1）求半径最小时的圆C的方程；（2）求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．五．关于点、直线对称的圆的方程（共5小题）35．（2022秋•滕州市期末）如果圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）关于直线y＝x对称，则有（）A．D+E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F36．（2022秋•官渡区期末）已知圆C的圆心坐标为（﹣3，4），半径为2，圆C'与圆C关于x轴对称，则圆C'的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣4）2＝4 B．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝2 C．（x+3）2+（y+4）2＝4 D．（x+3）2+（y+4）2＝237．（2022秋•金华期末）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+y2＝4和和圆x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为．38．（2022秋•米东区校级期末）在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆C：（x+3）2+（y﹣2）2＝2上，则它爬到圆上经过的最短路程是．39．（2022秋•河东区校级月考）（1）求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x＝0与圆x2+y2＝4交点的圆的方程；（2）求与圆C：（x+2）2+（y﹣6）2＝1关于直线3x﹣4y+5＝0对称的圆的方程．

【过关检测】一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023春·湖北襄阳·高二襄阳四中校考开学考试）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（

）A． B．C． D．5．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（

）A．B．C．D．6．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：

①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为；②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则；③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3；④“水滴”图形的面积是.其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．8．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·广东惠州·高二惠州一中校考阶段练习）设有一组圆，下列说法正确的是（

）A．这组圆的半径均为1B．直线平分所有的圆C．存在直线被所有的圆，截得的弦长相等D．存在一个圆与x轴和y轴均相切10．（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）下列选项正确的有（

）A．表示过点，且斜率为2的直线B．是直线的一个方向向量C．以，为直径的圆的方程为D．直线恒过点11．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知点，且点在直线上，则（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．的最小值为D．的最大值为12．（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线（

）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．若，，则C是直线D．若，，则C是直线三、填空题13．（2023秋·青海西宁·高二校联考期末）若圆C过三个点，，，则圆C的方程为____________．14．（2023春·四川成都·高二校联考期末）曲线所围成平面区域的面积为____