专题03平面向量与三角形“四心”（课时训练）

专题03平面向量与三角形“四心”A组基础巩固1．（2022·福建三明·高三期末）已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（）A．－ B．－ C． D．【答案】C【解析】【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得出，结合数量积公式计算即可.【详解】，即△ABC为等腰直角三角形，即点O是△ABC的外心，点O是的中点故选：C2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的加法法则和数乘向量可求解．【详解】解：因为，所以即，所以，即.故选：C3．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】【分析】，因为，故得到，，变形得到，故得到在的角平分线上，同理在的角平分线上，进而得到答案.【详解】在的角平分线上，同理在的角平分线上，点为三角形的角平分线的交点故点是三角形的内心.故选：B.4．（2021·全国·模拟预测）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【解析】【分析】令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得，再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解.【详解】设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图，由B，C，D三点共线可得：，于是有，则，在中，，则，在中，由正弦定理得，则，在中，由正弦定理有，于是得，因此，，所以2021.故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的夹角公式可得，设，，，，，，根据数量积的坐标表示可得点的轨迹为圆，由几何意义可知：的最小值为减去半径即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以不妨设，，，，，，则，，因为，所以，化简为：，所以对应的点是以为圆心，半径为的圆，所以的最小值为，故选：B.6．（2021·新疆·莎车县第一中学高二阶段练习）已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】【分析】根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得.【详解】因，是两个互相垂直的单位向量，则，，当且仅当，即时取等号，则所以当时，的最小值是.故选：B7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，，，，为的外心，则（）A．5 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知得是的中点，，再利用向量的数量积公式即可得解.【详解】在中，，，，又为的外心，是的中点，故选：D8．（2021·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））点P是菱形内部一点，若，则的面积与的面积的比值是（）A．6 B．8 C．12 D．15【答案】A【解析】【分析】根据向量关系可得，即可表示出面积关系.【详解】如图，设中点为，中点为，因为，即，则，即，则，所以的面积与的面积的比值是6.故选：A.9．（2021·山东菏泽·高三期中）已知向量满足与垂直，则的最小值为（）A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算．【详解】由与垂直，得，则，所以1，所以当时，的最小值为故选：C10．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出圆的半径，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，利用平面向量的坐标运算求出、的值，即可得解.【详解】设圆的半径为，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、，，，，由，得，所以，，解得，因此，.故选：B.11．（2021·江西省崇义中学高一期中）已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，不正确的命题是（）A．若，则一定是等腰三角形B．若，则是等腰或直角三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，且，则是等边三角形【答案】C【解析】【分析】A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.【详解】A．因为，所以，即所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；B．因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确；C．因为，所以，所以，所以，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，故错误；D．因为，所以，所以或（舍），所以，又因为，所以且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以为等边三角形，故正确.故选：C12．（2022·全国·）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，点满足，则动点的轨迹一定通过的（）A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心【答案】C【解析】【分析】根据得，由即可求解.【详解】解：，所以，动点在的高线上，动点的轨迹一定通过的垂心，故选：C【点睛】考查用向量的数量积证明向量垂直，进一步证明直线垂直，基础题.13．（2022·全国·）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．内心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【解析】【分析】取的中点，由已知条件可知动点满足，，易得，则点三点共线，进而得到点的轨迹一定通过的重心.【详解】解：设为的中点，则，则，即，三点共线，又因为为的中点，所以是边的中线，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：C.14．（2021·上海·）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】【分析】由于分别表示向量方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致，由已知条件可得与共线，由此可得结论【详解】因为分别表示向量方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致，又因为，所以，所以向量的方向与的角平分线一致所以点的轨迹一定经过的内心．故选：B．15．（2010·湖北夷陵·（理））已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（）A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点【答案】C【解析】【分析】设△ABC的重心为G，则，结合题设，利用平面向量的运算法则可得，即G、P、C三点共线，从而可得结果.【详解】设△ABC的重心为G，∵，∴，∴，∴G、P、C三点共线，故选C．【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．16．（2020·湖北随州·）已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】由所给等式利用数量积的定义可得，推出O点为的角平分线上的点，同理O点为的角平分线上的点，即可判断.【详解】，，即，，O点为的角平分线上的点，同理可得O点为的角平分线上的点，所以O点为△ABC角平分线的交点，O点是一定是△ABC的内心.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算律、三角形内心的概念，属于中档题.17．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B18．（2019·河南南阳·高三期中（理））奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.【详解】如图，因为，所以，同理，，所以为的垂心。因为四边形的对角互补，所以，．同理，，，．，．又．由奔驰定理得.故选C．【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.19．（2020·江西临川·模拟预测（理））梅赛德斯—奔驰（Mercedes–Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先由正弦定理及三角形面积公式求出阴影部分面积，再结合几何概型中的面积型求概率即可.【详解】解:由图可知:,,,不妨设,在中,由正弦定理可得,则,则阴影部分的面积为,则在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理及三角形面积公式，重点考查了几何概型中的面积型，属中档题.20．（2022·江西景德镇·模拟预测（文））已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题意作出草图，利用平面几何的性质，可证，再根据，可得，再利用，可得，的夹角，再根据，利用数量积公式即可求出.【详解】根据题意，作出如下草图，令，，因为，由平行四边形法则，可得，所以，因为，所以，因为所以，所以因为，所以，所以，所以，所以即，所以，又，所以，即所以平行四边形为菱形，设，即向量，的夹角为，因为，所以，即，所以，即，所以，即，所以.故答案为：.21．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心【答案】④【解析】【分析】设BC的中点为D，两端同时点乘，由可得答案.【详解】设BC的中点为D，∵，∴，即，两端同时点乘，∵====0，所以，所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故答案为：④.22．（2019·吉林·长春市实验中学（理））是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．【答案】重心【解析】【分析】由[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，得到点P的轨迹一定过△ABC的重心．【详解】∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点，∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为重心．【点睛】本题考查三角形重心性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量性质的合理运用．23．（2021·全国·）已知，，是平面内不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）.【答案】重心【解析】根据已知条件判断三点共线，结合重心的定义，判断出的轨迹过三角形的重心.【详解】∵点满足，且，∴，，三点共线.又是的中点，∴是边上的中线，∴点的轨迹一定过的重心.故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题.24．（2019·全国全国·）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．【答案】重.【解析】【分析】由已知条件可知动点P满足，，我们取BC的中点D，易得点A，D，P三点共线，进而得到点P的轨迹一定通过的重心.【详解】设D为BC的中点，则，于是有，，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P的轨迹一定通过的重心．【点睛】该题考查的是有关向量在几何中的应用，以及三角形四心，涉及到的知识点有三角形的中线向量，向量共线的条件，三角形的重心是中线的交点，属于简单题目.

B组能力提升25．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）（多选题）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，因为，故A错误；由,故B错误；因为,故C正确；因为,故D正确.故选：CD26．（2022·山东枣庄·高三期末）（多选题）已知在等腰中，是底边的中点，则（）．A．在方向上的投影向量为B．在边上存在点使得C．D．【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用向量的加法运算和数量积的几何意义判断即可，对于B，如图建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解判断，对于C，分别求出和的坐标，然后判断，对于D，利用坐标求解判断即可【详解】对于A，因为，在方向上的投影向量为，所以A错误，对于B，如图建立坐标系，设，则，所以，由，得，得，因为，所以，所以在边上存在点使得，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确，故选：BCD27．（2022·山东莱西·高三期末）（多选题）已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根据题意，，且不能共线，再求解即可得实数的取值范围，进而得答案.【详解】解：因为，，与的夹角为，所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且不能共线，所以，解得，当向量与向量共线时，有，即，解得，所以实数的取值范围，所以实数可能的取值为A，D故选：AD28．（2021·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系，再借助三角形面积公式及均值不等式即