过关检测04函数单调性的四种求法-2022年高考数学六大考点全面解读检测

过关检测041.已知函数，求证时.【解析】证明：定义域，，令，，因为都是增函数，所以单调递增，又因为，所以一定存在使得，所以时单调递减，时单调递增，所以，又由可得，所以，所以，从而得证.2.已知函数，求证.【解析】证明：定义域，因为在时都是增的，所以为增函数，又因为，所以存在唯一的使得，时单调递减，时单调递增，，又由可得，所以.令，当时，单调递减，,所以.3.已知函数若恒成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】法一：定义域,,令，，令，，所以单调递增，又因为，所以一定存在使得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，，又由可得，所以，.法二：定义域,，令，则，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以.法法二运用的是函数同构，这个方法比价棘手的是学生们不知道该如何构造，本专辑里会在后面恒成立问题的四种解法中详细叙述构造方法4.已知函数，证明.【解析】证明：定义域：，，令当时，单调递增.又，由零点存在性定理可知一定存在使得.所以时，单调递减；时，单调递增.由此可知，，，，成立.5.已知函数.讨论的单调性；若有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）时单调递增；时和时单调递增，时单调递减.（2）.【解析】定义域，令（Ⅰ）即时，恒成立，单调递增.（Ⅱ）即时，，所以和时，单调递增，时，单调递减.（2）由（1）可知时单调递增,不会存在3个零点.当时和时单调递增，时单调递减.,且时，时，所以要使函数有三个零点则，即，.6.设函数.讨论的单调性；当时，求的取值范围.【答案】（1）当和时单调递减；当时单调递增；（2）.【解析】（1）定义域,，令，，当和时，单调递减；当时，单调递增.（2），令，要使，则只需又因为，所以所以在时单调递减.，恒成立，所以单调递减，所以.7.已知函数.当时，讨论的单调性；若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）时单调递减，时单调递增；（2）.【解析】（1）,,当时，单调递减，当时，单调递增.（2）.（Ⅰ）当时恒成立，所以单调递增不会有两个零点.（Ⅱ）当时，令，当时，单调递减，当时单调递增，则，令，，，此时，由（1）可知当时，单调递增，且恒大于零，即，所以，设，则，此时有两个零点，所以.8.已知函数.讨论的单调性；当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.【答案】（1）时单调递增；时在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】（1）定义域是，，（Ⅰ）当时，单调递增.（Ⅱ）时令，.①当时不在定义域内，恒成立，单调递增.②当时，在上单调递增，在上，单调递减.综上所述时单调递增；时在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知时单调递增无最大值，当时在上单调递增，在上单调递减，最大值是，，令，，所以单调递增，又因为，所以当是.9.已知函数.设是的极值点，求；当时，证明.【答案】（1）【解析】（1），因为是的极值点，所以.验证：当时，，显然，又因为单调递增（增函数+增函数=增函数），所以有且仅有一个根，时，单调递减，时，单调递增，是的极值点成立.（2）定义域，，令，，由增函数+增函数=增函数可知单调递增，又因为，所以一定存在使得，当时，单调递减，当时，单调递增，，又由可知，，所以，所以，得证.10.设函数.讨论的导函数零点的个数；证明：当时，.【答案】（1）时无零点，时有一个零点【解析】（1），令，，则零点个数和交点个数，令，所以单调递增，且恒成立，所以当时没有交点，当时有一个交点.（2）由（1）可知时，有唯一零点，不妨设，则时，单调递减，时，单调递增，，又由可知，，所以，当时由基本不等式可知得证.11.已知函数.讨论的单调性；当时，记在区间上最大值为,最小值为，求的取值范围.【答案】（1）时，在和上单调递增，在上单调递减；时，在和上单调递增，在上单调递减；时单调递增；（2）.【解析】定义域是,，令，或，①当即时，在和上单调递增，在上，单调递减.②当即时，在和上单调递增，在上，单调递减.③当，即时所以单调递增.综上所述：时，在和上单调递增，在上单调递减；时，在和上单调递增，在上单调递减；时单调递增.（2）由（1）可知当时在和上单调递增，在上单调递减，又因为，所以时单调递减，时单调递增，，，所以，当时，令，所以在上单调递减，，当时，令单调递增，所以，所以.12.已知函数，其中.（1）设是的导函数，讨论的单调性；（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解.【答案】（1）时单调递增；当时在和上单调递增，在上单调递减【解析】（1）定义域，，，令则，，（Ⅰ）当即时，恒成立，单调递增.（Ⅱ）当即时，,且，所以当和时，单调递增，当时，单调递减.综上所述：时单调递增；当时在和上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知，当时单调递增，又因为当时，，所以一定存在使得，所以当时单调递减，当时单调递增，，又由可知，所以，若在上恒成立，则，，下面只需证明有唯一解即只存在一个，因为，且，所以，设，所以单调递增，又因为，所以有唯一解，即存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解.13.设函数,.（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在实数，使得在区间内恒成立，且关于的方程在内有唯一解？【答案】（1）时单调递增；时在上单调递增，在上单调递减；（2）存在使得在区间内恒成立，且关于的方程在内有唯一解.【解析】（1）定义域：，.(Ⅰ)时，单调递增.（Ⅱ）当时令，，当时，单调递增，当时，单调递减.综上所述：时单调递增；时在上单调递增，在上单调递减.（2），，易知，要使得在内恒成立，则，所以即为极值点，，，下面验证当时，在区间内恒成立，且关于的方程在内有唯一解.，令，，所以单调递减，又因为，，所以存在唯一的使得，所以当时单调递增，当时单调递减，，又由可得，所以所以，所以恒成立，当时单调递减，当时单调递增，，所以存在使得在区间内恒成立，且关于的方程在内有唯一解.14.已知函数且满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】是偶函数，当时单调递减，单调递减，所以单调递减，因为是偶函数，所以时单调递增，所以.15.设函数则不等式成立的的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】为偶函数，时单调递减，单调递减，所以单调递减，由偶函数性质可知时单调递增，所以，或.16.已知函数，则下列正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,，所以为奇函数，，令，，所以单调递增，又因为单调递增，所以单调递增，所以.17.已知函数则（）A.是奇函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增D.是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】为偶函数排除AB，当时单调递增，单调递增，所以单调递增，排除D.选C.18.设数列的前项和为，已知，.设，求数列的通项公式；若,求的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】（1），设，则，所以即，所以，，.（2）由（1）可知则，，，，所以.当时恒成立，即恒成立，，所以，且时成立，综上所述.19.数列满足证明：数列是单调递减数列的充要条件是求的取值范围，使数列是单调递增数列【答案】（2）.【解析】（1）必要性：若单调递减则对任意都成立，成立.充分性：当时，，所以单调递减，得证.（2），再由单调递增可知，所以，即对任意都成立，所以，即，因为，所以.下面用数学归纳法证明，当时，.当时成立，假设当时结论成立，则，.设函数，因为在上单调递增，所以，，所以结论成立，综上可知.20.已知对任意的正整数，若数列是递增数列，则实数的取值范围是.【答案】【解析】时，因为数列是递增数列，所以恒成立，.21.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）从本市随机抽取10户家庭，统计了同一月份的月用水量如下：7，8，9，11，12，13，13，14，20，32现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到