专题42指数函数

专题4.2指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a>0且a≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像性质定义域R,值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1（3）当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1图象特征函数性质共性向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在x轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0<a<1自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a>1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；注意：指数增长模型：y=N(1+p)x指数型函数：y=kax3考点：（1）ab=N,当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的异侧。（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。一、单选题1．若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B．C． D．【来源】4.2.2指数函数的图象与性质【答案】C【解析】由题意可得，解得.故选：C.2．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【来源】江西省铜鼓中学20212022学年新高一衔接班期末数学试题【答案】B【解析】解：令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B3．若函数为上的奇函数，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2【来源】河北省保定市20212022学年高一上学期期末数学试题【答案】A【解析】函数为上的奇函数,故，得，当时，满足，即此时为奇函数，故，故选：A4．已知是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（

）A．2 B．－2 C．0 D．【来源】吉林省松原市重点高中20212022学年高一3月联考数学试卷【答案】B【解析】由题意，的周期为4，又是定义在R上的奇函数，所以．故选：B．5．已知f(x)=，则f(4)+f(4)=（

）A．63 B．83 C．86 D．91【来源】新疆阿勒泰地区20212022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】C【解析】依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(4)=f(1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，当x≥5时，f(x)=2xx2，则f(5)=2552=7，f(7)=2772=79，所以f(4)+f(4)=86.故选：C6．函数的图象大致为（

）A．BC．D【来源】河南省豫北名校20212022学年高一下学期第一次联考数学试题【答案】A【解析】由题意，得，所以，所以是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B，D．又因为，，所以排除C．故选：A7．若，则a､b､c的大小关系是（

）A． B． C． D．【来源】云南省丽江市20212022学年高一下学期期末教学质量监测数学试题【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即故选：A8．设函数对任意的，都有，，且当时，，则（

）A． B． C． D．【来源】宁夏吴忠中学20212022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】由得，所以，即，所以的周期为4，，由得，所以.故选：A.9．是定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，则的值是（

）A． B． C． D．【来源】内蒙古包头市20212022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】由题意，，即，，即，所以，可得，故.故选：A.10．若，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．C． D．【来源】陕西省榆林市神木中学、府谷中学和绥德中学20212022学年高一下学期期末联考数学试题【答案】A【解析】由可知：，为偶函数，又,知在上单调递减，在上单调递增，故，故选：A.11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【来源】浙江省温州市环大罗山联盟20212022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】A【解析】当时，，则在上单调递增，又函数是上的偶函数，且，因此，，解得，所以不等式的解集为.故选：A12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【来源】浙江省台州市玉环市坎门中学20212022学年高一下学期返校考试数学试题【答案】B【解析】∵在上单调递增，∴，解得.故选：B.13．函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【来源】浙江省杭州学军中学20212022学年高一上学期期末数学试题【答案】C【解析】依题意，，解得：，即定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：C14．已知函数，，则函数的值域为（

）．A． B． C． D．【来源】江西省丰城中学20212022学年高一下学期入学考试数学试题【答案】B依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，于是有，当时，，此时，，当时，，此时，，所以函数的值域为.故选：B15．函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若对，都存在，使成立，则需，又，，所以，令，因为，所以，所以，所以，解得，则m的取值范围是，故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．二、多选题16．已知函数，则（

）A．的值域为R B．是R上的增函数C．是R上的奇函数 D．有最大值【答案】ABC【解析】，而，所以值域为R，A正确，D错误；因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确；因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确；故选：ABC17．已知函数，则下列结论正确的有（

）A．的图象关于坐标原点对称 B．的图象关于轴对称C．的最大值为1 D．在定义域上单调递减【来源】浙江省“新高考名校联盟”20212022学年高一下学期5月检测数学试题【答案】AD【解析】因为，所以为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为，，，所以不是偶函数，图象不关于轴对称，故不B正确；因为，又，所以，所以，所以，故C不正确；因为，且为增函数，所以在定义域上单调递减，故D正确.故选：AD18．下列结论中，正确的是（

）A．函数是指数函数B．函数的单调增区间是C．若则D．函数的图像必过定点【来源】广东省韶关市武江区市实验中学20212022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】BD【解析】由指数函数定义得函数不是指数函数，A错；函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确；时，由得，C错；函数中，由得，，即函数图象过点，D正确．故选：BD．19．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数的图象关于y轴对称D．函数在R上为增函数【来源】重庆市九龙坡区20212022学年高一上学期期末数学试题【答案】ABD【解析】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；B：，由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，因此函数是增函数，所以本选项结论正确，故选：ABD20．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数B．C．为定值D．【来源】浙江省金华十校20212022学年高一上学期期末联考数学试题【答案】ACD【解析】令为得即解得，对于A.，故为偶函数对于B.，故B错C.，故C对D.当时，，当时，，

故D对故选：ACD三、填空题21．已知函数，若，则实数的取值范围是___.【答案】【解析】：和在上都是单调递减，在上单调递减，由，可得，解得，即．故答案为：22．已知函数为定义在R上的奇函数，则____.【来源】3.3函数的奇偶性【答案】##3.5【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，特别地，当时，得到．由取，所以，所以．再分别令和，得，，两式相加得，且，则，所以．故答案为：.23．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.【来源】江西省上饶市重点中学协作体20212022学年高一下学期期末联考数学试题【答案】【解析】：因为，所以函数是以4为周期的周期函数，又因是定义在上的奇函数，所以.故答案为：.24．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】：由，得，即，

，，则，，则，即．故答案为：四、解答题25．已知定义在上的奇函数．在时，．(1)试求的表达式；(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)：是定义在上的奇函数，，因为在时，，设，则，则，故.(2)：由题意，可化为化简可得，令，，因为在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，，故．26．已知函数是定义域为的奇函数.(1)若集合，，求；(2)设，且在上的最小值为7，求实数的值.【来源】湖南省天壹名校联盟20212022学年高一下学期3月大联考数学试题【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为是定义域为的奇函数，所以，可得，当时，，所以，，所以为奇函数，所以；由，得，即，因为，所以，所以，即；由，且，得，即，所以，所以；(2)因为，，令，因为，所以，所以，当时，在上为减函数，在上为增函数，所以，即，所以，解得，或（舍去）；当时，在上为增函数，所以，即，所以，解得（舍去），所以.27．已知定义在上的奇函数，当时，函数解析式为．(1)求a的值，并求出在上的解析式；(2)若对任意的，总有，求实数t的取值范围．【来源】河南省林州市第一中学20212022学年高一下学期开学检测数学试题【答案】(1)3，；(2).【解析】(1)根据题意，是定义在上的奇函数，则有，当时，则，解得：，当时，，设，则，则，又为奇函数，所以，综上，，(2)由（1），时，，设，则，则原函数可化为：，由，知：在上恒成立，要使在上恒成立，只需，解得：，所以t的取值范围为．28．已知函数.(1)求的值；(2)求函数的值域；(3)若，且对任意的、，都有，求实数的取值范围.【来源】广东省深圳市光明区20212022学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)：.(2)解：.，则，则，所以，，函数的值域为.(3)解：，令，则，，函数的对称轴为直线.①当时，函数在上单调递减，，，解得，此时的取值不存在；②当时，函数在上单调递增，，，解得，此时的取值不