专题19导数与函数的单调性极值最值问题

专题15导数与函数的单调性、极值、最值问题1．（2023·重庆·统考二模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题若在上单调递增，则恒成立，即，故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件故选:.2．（2023·四川成都·统考二模）若函数在处有极大值，则实数的值为（

）A．1 B．或 C． D．【答案】D【解析】函数，，函数在处有极大值，可得，解得或，当时，，时，时，在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意.当时，，时，时，在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意.综上可得，.故选：D3．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程化为,令则问题转化为的图象与直线有2个交点,因为当时,单调递减,当时,,单调递增,易知且当正向无限趋近于时,的取值无限趋近于正无穷大；当无限趋近于正无穷大时,的取值无限趋近于正无穷大；故方程有两个不等的实数根时,.故选：B.4．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知定义域为的函数满足，，，若，则的极值情况是（

）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值【答案】C【解析】∵，∴．取可得，，由，令，得，因为，可得，∴，则，∴．令，则；令，，易知时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，所以当时，取最小值，又，当时，，时，，∴存在，，使得．不妨设，则当时，，当时，，当时，．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．∴既有极大值，又有极小值．故选：C.5．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，使得成立，则函数的值域包含的值域.当时，函数开口向上，对称轴，所以在上单调递减，且，所以；当时，，则，①若，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，即，解得；②若，则，在上单调递增，此时值域为，符合题意.③当时，的值域为，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.故选：B.6．（多选题）（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数在区间上可能（

）A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值【答案】AD【解析】因为且，则，，所以，函数在上不可能有零点，B错；当时，即当时，在上单调递增，A对；函数在上可能有极大值，但无最小值，C错D对.故选：AD.7．（多选题）（2023·重庆·统考二模）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（

）A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1【答案】BC【解析】定义域为R，，令得：或1，当时，，当时，，如下表：010+0递减极小值1递增极大值递减从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，BC正确，由于恒成立，所以函数无零点，A错误，当时，，故函数无最小值，D错误；.故选：BC8．（多选题）（2023·安徽淮北·统考二模）已知函数，则（

）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为D．是奇函数【答案】AC【解析】对A：，定义域为，则，由都在单调递增，故也在单调递增，又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，故只有一个零点，B错误；对C：，根据导数几何意义可知，C正确；对D：定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.故选：AC.9．（多选题）（2023·湖北·荆州中学校联考二模）设函数，则下列说法正确的是（

）A．没有零点B．当时，的图象位于轴下方C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点【答案】BC【解析】函数的定义域为，，令，则，所以函数在上递减，又，所以存在上，使得，即函数有唯一零点，且，当时，，即，函数递增，故C正确；当时，，即，函数递减，所以为函数的极大值点，无极小值点，即有且仅有一个极值点，故D错误；所以，又，所以函数在上存在一个零点，故A错误；当时，，所以，即当时，的图象位于轴下方，故B正确.故选：BC.10．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．当时，点是曲线的对称中心B．当时，在上是增函数C．当时，在上的最大值是1D．有两个极值点【答案】ABC【解析】对于A，，，正确；对于B，

，，当时，，是增函数，正确；对于C，，当时，，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递减，所以在上时，的最大值可能是，也可能是，，，所以在区间上，正确；对于D，，当时，，方程没有实数解，即没有极值点，错误；故选：ABC.11．（2023·山东菏泽二模）设向量，满足，，若函数单调递增，则的取值范围为_____________．【答案】【解析】依题意得，又函数单调递增，则恒成立，所以，，所以，即．12．（2023·四川泸州·统考二模）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】定义域为，，根据题意可得在上存在穿越零点，故，且，解得.13．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．【答案】##【解析】由，得，因为是函数的极小值点，所以，即，即，解得或．当时，，当或时，，当时，，所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故又因为，，所以函数在的最大值为．14．（2023·江西南昌·统考二模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻（单位：小时）与对应水深（单位：米）的函数关系式为.某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为______.【答案】6时【解析】令船底与海底距离为，则，所以，所以，又，，所以，所以当或时，当时，所以在上单调递增；在上单调递减.又因为，所以当时，；当时，所以该船第一次停止卸货的时刻为6时.15．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知a，b为实数，若对任意，都有恒成立，则的最小值为__________．【答案】1【解析】对任意，都有恒成立，故．由，得，所以，从而恒成立，故，易知，于是．设．设．故在上单调递增，结合，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．故，所以的最小值为1，此时．16．（2023·山东潍坊二模）已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的极值点的个数.【解析】（1）∵，∴，∴，而，∴函数在点处的切线方程，级.（2）所以，当，时，，当时，，此时存在一个极值点.当时，则，当时，；当时，；当时，，此时存在两个极值点，.当时，，当时，；当时.，此时没有极值点.当时，，当时，；当时，；当时，，此时存在两个极值点，.综上所述：当或，存在两个极值点；当时，存在一个极值点；当时，没有极值点.17．（2023·雅礼中学预测）设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.(1)求的单调区间；(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.【解析】（1），由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函数的极大值点，符合题意，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）由（1）知，因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，又，所以的最大值为，解得.18．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）．(1)当时，求的单调区间与极值；(2)当时，设，若既有极大值又有极小值，求a的取值范围．【解析】（1）因为，当时，，所以，由，得，由，得，所以的单调增区间为，单调减区间为；所以在处有极大值，极大值为，无极小值；（2）因为，所以，则有两个变号零点，由，可得，所以有两个不等正根，设，则，由，可得，函数单调递增，由，可得，函数单调递减，所以在处有极大值，，又，时；时，，作出函数的大致图象，由图象可知要使有两个不等正根，则，即a的取值范围为.【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.19．（2023·河南郑州·统考二模）已知函数，，.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)设，当时，函数有两个极值点，求实数m的取值范围.【解析】（1）因为，所以，故，，所以切线方程为，即.（2）由题设且有两个极值点，则有两个变号零点，令，即有两个变号零点，而，①当时，在上恒成立，于是在上单调递增.所以，因此在上无零点，即在上无零点，不合题意.②当时，令得：，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，由于在上有两个零点，则得：，因为且趋向于时趋向，所以由零点存在性定理得：时在上有两个变号零点，综上，可得的取值范围是.20．（2023·江苏南京二模）已知函数.(1)当时，求函数的单