内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024−2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024−2025学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．设向量，，若，则（

）A． B． C．1 D．23．过点且与直线垂直的直线l的方程为（

）A． B． C． D．4．如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（）

A． B．C． D．5．两平行直线与之间的距离为（）A． B． C． D．6．用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（

）A． B． C． D．7．正四面体的棱长为3，点为棱靠近点的三等分点，点为的重心，则线段的长为（）A． B． C．2 D．38．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则相互独立 D．若相互独立，则10．已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（

）A． B． C． D．11．在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（

）A．若点在平面内，则 B．若，则C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若α//β，则.13．在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为．14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．如图，正方体的棱长为2.

(1)用空间向量方法证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.16．已知直线.(1)求恒过的定点的坐标;(2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围.17．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的正弦值.18．为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．(1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；(2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；(3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．19．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．(1)求经过的直线的点方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，证明：；(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．

参考答案1．【答案】B【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为.故选：B.2．【答案】D【详解】由，得∵，，∴，解得故选：D3．【答案】C【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1，又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：，即，故选：C4．【答案】D【详解】由题意，得．故选：D．5．【答案】C【详解】由题意知，所以，则化为，所以两平行直线与之间的距离为．故选：C．6．【答案】C【分析】利用列举法，结合古典概型分析求解.【详解】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种，其中偶数有，共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为．故选C．7．【答案】A【详解】因为，所以，所以．故选：A．8．【答案】A【详解】解：由题意得：因为，为中点所以又，与交于点A，平面，平面所以平面以点为原点，，的方向分别为x，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，所以所以又，，设平面的法向量，则令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍）故选：A.9．【答案】AC【详解】对于A，若，则，A正确；对于B，若，则事件互斥，所以，B错误；C选项，因为，所以，则相互独立，C正确；D选项，若相互独立，则相互独立，且，所以，D错误．故选：AC．10．【答案】CD【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解.【详解】由题意知直线在，轴上的截距存在且大于，可设的方程为（，），由直线过点，得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即，所以，故选：CD.11．【答案】ABD【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D.【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有，所以，又，则，故A正确；对于选项B，由题意易得，，且，又，即，故，解得，故B正确；对于选项C，由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，则为的中心，易得，．当时，到平面的距离为，所以，故C错误；

对于选项D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，当且仅当时等号成立，所以长度的最小值为，故D正确．故选ABD．【关键点拨】本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决.12．【答案】/【详解】因为α//β，所以，则存在实数，使，即，解得，所以故答案为：13．【答案】【详解】在中，连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外，还有每个面上各有两条面对角线，共，还有4条体对角线，共28条线段，

其中它们所在的直线与平面平行的有共3条面对角线所在直线，故这些线段所在的直线平行于平面的概率为．故答案为：．14．【答案】【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.设，则解得即，关于轴的对称点为，故周长的最小值为.故答案为：.15．【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知，则，设平面的一个法向量为，则，令，则可得，即；又，即，又平面，所以平面；（2）易知，则，由（1）知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）整理直线的方程,得(,联立方程组解得所以直线恒过的定点的坐标为;（2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意;当时,,因为经过第一、二、三象限，所以，解得或,综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是.17．【答案】(1)；(2).【详解】（1）

取的中点，连接，显然，由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，又底面，所以，因为是中点，易得，所以可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，故异面直线的夹角余弦值为；（2）由上可知，设面的一个法向量为，则，取，即，易知面的一个法向量为，由图象可知二面角为钝角，设其为，所以，则.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件，所以，即乙至少有1个回答正确的概率是．（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件所以，即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）由得，直线的方向向量为，故直线的点方向式方程为．（2）由平面可知，