四川省成都市简阳市2024−2025学年高二上学期10月期中考试数学试题含答案

2024−2025学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设点在平面上的射影为，则等于（

）A． B．5 C． D．2．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（

）A．19 B．20 C．21 D．223．设，，，且∥，则（

）A． B． C．3 D．44．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（

）A． B．C． D．5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（

）A． B． C． D．6．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2A．x=70,s2＜75C．x=70,s2=757．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）

A．3 B． C． D．8．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（

）A．平面B．异面直线与所成角为C．直线与平面所成角为D．二、多选题（本大题共3小题）9．在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（

）

A．8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B．1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C．1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差D．1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差10．给出下列命题，其中正确的是（）A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则11．已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（

）A．若A与B相互独立，则 B．若，则事件A与相互独立C．若A与B互斥，则 D．若B发生时A一定发生，则三、填空题（本大题共3小题）12．经过点，点的直线的一个方向向量是.13．某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为万辆.14．已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则，.四、解答题（本大题共5小题）15．柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么(1)写出试验的样本空间；(2)求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.(3)求取出的鞋不成双的概率.16．2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；(2)用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.17．在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点．(1)求点到直线的距离；(2)求异面直线所成角的余弦值．18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.(1)求证：平面；(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.19．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．(1)求经过的直线的点方向式方程；(2)已知平面，平面，平面，若，证明：；(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．

参考答案1．【答案】D【详解】点在平面上的射影为，，故，故选：D2．【答案】C【详解】，又该组数据的分位数为22，则，解得.故选：C3．【答案】C【详解】解：因为，，且，所以，解得，所以，又因为，且∥，所以，所以，所以，所以.故选：C.4．【答案】B【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B5．【答案】D【详解】由题意，这8个点数的中位数为4.5，只有三种情况：①将抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为；②抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为；③抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为或；综上，x的点数只能为5，或者6，故概率为，故选：D.6．【答案】A【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】由题意，可得x=70×50+80−60+70−90设收集的48个准确数据分别记为x1,则75=1=150s2=150x1−70故选A．7．【答案】C【详解】由题意可知：，则，所以.故选：C.8．【答案】B【详解】如图，连接，在正方形中，为的中点，则，即也为的中点，在中，分别为的中点，有，又平面，平面，所以平面，故A正确；由题可知，异面直线与所成角即为直线与与所成角，即，为，故B错误直线与平面所成角即直线与平面所成角，由平面，可知直线与平面所成角为，故C正确；正方体中，平面，平面，则有，由，得，故D正确；，故选：B.9．【答案】BCD【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误；由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确．故选：BCD.10．【答案】ACD【详解】对于A,不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；对于B,点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；对于C，由可得，即,所以A，B，C三点共线，故正确；对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.故选：ACD11．【答案】ABD【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A，若A与B相互独立，则，所以，故A正确；对于B，因为，，则，因为，所以事件与相互独立，故B正确；对于C，若A与B互斥，则，故C错误；对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D正确．故选ABD.12．【答案】(时，均可)【详解】点，点在直线上，则直线的一个方向向量为，时，也都是直线的方向向量.故答案为：（时，均可）13．【答案】53【详解】设2020年的销量为，2021年的销量为，，由题意可知，中位数为，平均数为，由，得，所以这四年的总销量为万量.故答案为：5314．【答案】【分析】问题等价于当且仅当时取到最小值，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案.【详解】，由于，所以，问题等价于当且仅当时取到最小值，.则，解得.故答案为；2.15．【答案】(1)见解析(2),(3)【详解】（1）该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；（2）记：“取出的鞋都是一只脚的”,，,，,，,，,，,，，；记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，,,,，,，,，,，，，（3）记“取出的鞋不成双”，由（1）得，，,，,，，，；16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故中位数位于之间，中位数是（2）∵与的党员人数的比值为，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：，，，，，，，，，，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：，，，，，，，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为为矩形，所以，又因为平面平面，所以，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，则有，所以，所以点到直线的距离．（2）因为，所以，所以异面直线所成角的余弦值．18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则，由题意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，则平面，可得，由题设知四边形为菱形，则，因为，分别为，中点，则，可得，且，，平面，所以平面.（2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形，由平面，平面，可得，，又因为为等边三角形，为中点，所以，则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，可得，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，所以点到平面的距离为.（3）因为，设，，则，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一个法向量设平面的法向量，则，令，则，，可得；则，令，则，可得，因为，则，可得，所以锐二面角的余弦值的取值范围为19．【答案】(1)(2)证明见解析