浙江省台州市2025届高三第一次教学质量评估数学含答案

台州市2025届高三第一次教学质量评估试题数学2024.11本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则的值为（

）A． B． C． D．2．椭圆与椭圆的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等3．若复数是方程的一个虚根，则=（

）A．2 B．2 C． D．4．已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则（

）A．6.6 B．5 C．1 D．146．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．3 B．2 C．2 D．37．已知球的半径为3，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（

）A． B． C． D．8．台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到44的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（

）A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列选项正确的是（

）A．若随机变量，则B．若随机变量，则C．若随机变量服从0—1分布，且，则D．若机变量满足，则10．已知函数，且，则下列选项正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．D．在[0，]上有两个不同的零点11．已知棱长为3的正四面体，则下列选项正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，的最大值为D．当时，则的最大值为非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列则.（填数字）13．若在上单调递减，则实数的最大值为．14．已知圆，其中，若圆上仅有一个点到直线的距离为1，则的值为；圆的半径取值可能为（请写出一个可能的半径取值）．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△的内角所对的边分别为，且．(1)求角；(2)若△的面积为，为的中点，求长度的最小值．16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．18．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T．(1)求的方程和双曲线的渐近线方程；(2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；(3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得．(1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由；(2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质．①若，求的取值范围；②求证：存在的子数列为等差数列．1．D【解析】略2．D【解析】略3．B【解析】略4．A【解析】略5．C【解析】略6．B【解析】略7．C【解析】略8．D【解析】略9．ABD【解析】略10．BC【解析】略11．ACD【解析】略12．【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，即可得解．【详解】解：由题意可知，，，，，，故，所以，故答案为：13．【解析】略14．【解析】略15．(1)．(2)．【详解】解：（1）已知，由正弦定理得，，因为，所以，整理得，即，又因为，所以．（2）已知，由（1）知，得，因为，当时取到等号，所以的最小值为．16．(1)证明见解析(2)．【详解】解：（1）不妨设正方形边长为2，则，由，得，再由，得平面，因为平面，所以平面平面．（2）取中点，连结，则平面，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则取，记与平面所成角为，则．17．(1)(2)．【详解】解：（1）的定义域为，，令，解得，由，解得，所以函数的单调递减区间是．（2）记，，因为，所以，得，令，解得或，当时，，在上恒成立，因此，在上单调递减，得，即对任意恒成立．当时，对任意，，因此，在上单调递增，当时，，不满足题意．综上，．18．(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为(2)证明见解析(3)是，．【详解】解（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为．（2）联立方程组消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取，又由，求得直线的方程为，联立方程组消去得，因为，所以直线与抛物线相切．（3）因为，得准线为线段的中垂线，则直线与直线的倾斜角互补，即，设，由条件知，联立方程组消去得，则，联立方程组消去得，则，所以，故为定值．19．(1)满足，理由见解析(2)①[3，5）；②证明见解析【详解】解：数列满足性质．且，因为，所以，又因为，所以，因此，存在，使得且，都有，故满足性质．注：取之间的任意实数都可以．（2）①因为数列满足性质，所以是单调递增数列，又因为数列满足性质，所以存在，使