高等数学课件 4-3.4函数形态的讨论

一、函数单调性的判定法机动目录上页下页返回结束三、曲线的凹凸与拐点函数形态的讨论

第四章二、函数的极值与最值一、函数单调性的判定法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,机动目录上页下页返回结束证毕例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束例2.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证证明目录上页下页返回结束*证明令则从而即二、函数的极值及其最值定义:在其中当时,(1)则称为的极大点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小点

,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点

.机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束定理1

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)机动目录上页下页返回结束点击图中任意处动画播放\暂停例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束例4.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束定理3

(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.机动目录上页下页返回结束证:利用在点的泰勒公式,可得例如

,

例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~

定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.机动目录上页下页返回结束最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录上页下页返回结束例5.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束因此也可通过例6.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动目录上页下页返回结束(k

为某一常数)例7.铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:

设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动目录上页下页返回结束例8.

把一根直径为

d

的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h

和

b

应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.机动目录上页下页返回结束用开始移动,例9.

设有质量为5kg

的物体置于水平面上,受力

作解:

克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.

为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角机动目录上页下页返回结束的大小最小?令解得而因而F

取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值问题.机动目录上页下页返回结束清楚(视角

最大)?观察者的眼睛1.8m,例10.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:

设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m

处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最机动目录上页下页返回结束定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.图形是凸的.三、曲线的凹凸与拐点机动目录上页下页返回结束定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则在I

内图形是凹的;(2)在

I内则在

I

内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数证毕例11.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束例12.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束例13.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广(Th.3)定理3目录上页下页返回结束最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点机动目录上页下页返回结束有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题机动目录上页下页返回结束令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.

设在机动目录上页下页返回结束证明:当时，有证明:令,则是凸函数即

2.机动目录上页下页