2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数3教学教案新人教A版必修4

PAGE§1.2.1随意角三角函数（一）授课人授课班级课型概念课课时1课时教学目标1.驾驭随意角的三角函数的定义；

2.随意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区分；

3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；

4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；

5.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值。教学重点随意角三角函数的定义和简洁应用教学难点用角的的终边上点的坐标来刻画三角函数，随意角三角函数定义的引入教学过程教学环节教学过程设计意图教学过程一、复习引入：师：同学们，初中我们学习了锐角的三角函数，之前我们把角由初中学习的~推广到了随意角，能否也将锐角三角函数推广到随意角的三角函数呢？今日我们将一起来学习和探讨。问：如图，初中我们锐角QUOTE是怎么定义它的三角函数（正弦、余弦、正切）的？（引导学生作直角三角形，设出点P的坐标）从开章语谈起，告知学生本节课探讨的目的和缘由。复习旧学问，为新学问的探究作打算。教学过程教学过程二、深化探究问题1：在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？探究1：在直角三角形中锐角QUOTE是怎么定义它的三角函数（正弦、余弦、正切）的？探究2：引入直角坐标系之后，可以怎么表示？探究3：三角函数的值会因为角终边点P的选取而改变吗？图中，点是锐角的终边上异于的一点，设P，，你能写出、、、之间的关系吗？MM’yxOP’PM随意角QUOTEQUOTE（实数）→唯一比值随意角QUOTEQUOTE（实数）→唯一比值随意角QUOTEQUOTE（实数）→唯一比值师：确定的角QUOTE（弧度数）终边任取一点P，，比值（、）与角QUOTE唯一对应，都是实数的函数。探究4：能否通过|op|取特别值将表达式简化呢？画单位圆与角终边的交点探究5:如何用单位圆定义随意角的三角函数？虽然角的大小发生改变，但是：随意角QUOTEQUOTE（实数）→唯一对应随意角QUOTEQUOTE（实数）→唯一对应随意角QUOTEQUOTE（实数）→唯一对应满意函数定义，可以推广从熟识的初中定义起先，逐步引入坐标系，从特别到一般，让学生体会数学的发展历程，感受新学问产生的合理性和必冉性。唯一比值：1、说明与点P的选取是无关的，为下一问作铺垫；2、说明自变量随意角QUOTEQUOTE与三角函数值的比值是一个映射，满意函数关系。单位圆的引入，简化了函数值的表达式。随意角QUOTEQUOTE与三角函数值的比值是一个映射，是一个函数。三、定义推广随意角的三角函数定义【板书】随意角QUOTE的终边与单位圆交于点P，则：y叫做QUOTEQUOTEQUOTE的正弦，记作sinQUOTEQUOTE，即sinQUOTEQUOTE=yx叫做QUOTEQUOTE的余弦，记作cosQUOTEQUOTE，即cosQUOTEQUOTE=x叫做QUOTEQUOTE的正切，记作tanQUOTEQUOTEQUOTE，即tan=师：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。问4：你能给出三角函数中自变量的取值范围（即三角函数的定义域）吗？问5：如何求角的三角函数值?画角：使角的始边在x轴上，角的顶点在坐标原点求点：求角的终与单位圆的交点坐标P（x,y）3、算值：由定义计算：sinQUOTEQUOTE=ycosQUOTEQUOTE=xtan=留意用函数的定义稍加说明。强调函数问题定义域优先。由定义总结方法，为应用作好备注。四、学以致用例1：如图：已知角的终边与单位圆的交点是P，求角的正弦、余弦和正切值。xxyo思索：如何判定一个点的坐标是否在单位圆上？例2：求的正弦、余弦、正切值。xyxyo例3：已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值。干脆运用定义，强调定义运用的条件：“点P为角的终边与单位圆的交点”数形结合，干脆运用定义探究3的应用，另肯定义的引入。课堂小结本节课我们是如何探讨随意角三角函数的？直角三角形中锐角三角函数→直角坐标系中锐角三角函数→单位圆中随意角三角函数如何求角的三角函数单位圆中：在非单位圆中：sinQUOTEQUOTE=ysinQUOTE=cosQUOTEQUOTE=xcosQUOTE=tan=tanQUOTEQUOTE=课后作业练习题：第15页第1、2题习题1.2A组第1、2题.板书设计教学反思三角函数是描述客观世界中周期改变规律的重要数学模型，本章是建立在函数基础上探究角，本节课是学习完《随意角》、《弧度制》后的第一节课。在初中，学生就接触过锐角三角函数，为了刻画一些简洁的周期运动，要将其推广给出定义，将使学生的思维陷入僵化，不能发展学生的发散思维，无法让学生体会到随意角的三角函数是以角为变量的函数这一数学本质。这是我上这节课始终关注和克服的一大问题，因此我在教学中运用了几何画板，用现场的度量、计算使学生实现自主探究、领悟数学内涵。一、胜利之处

1、教学设计合理、层次分明、环环相扣，符合学生的学情和认知规律。本节课的教学中，以初中学习过的学问入手，切入点底，学生进入状态快。从特别到一般的做法，给学生有据可依，有例可仿，能大胆总结，主动参加。2、几何画板展示的数学“试验”成为了托载学生思维翱翔的翅膀。为防止“由直角三角形中的锐角三角函数推广到随意角三角函数的定义，将使学生的思维陷入僵化，不能发展学生的发散思维，无法让学生体会到随意角的三角函数是以角为变量的函数这一数学本质”这一目的，我在教学中两次设计几何画板数学“试验”，展示了“锐角三角函数值与角终边取点的位置无关”和“随意角的三角函数是以角为变量，角的终边与单位圆交点坐标或比值为函数值的函数关系”两个数学试验，让学生视察、体会到这一数学本质。“凭风巧借力，送我上青云”此次再一次让我体会到数学学科与先进的信息技术不断融合，将更好的为学生学习数学创建好的学习环境。3、板书设计的变更。实际教学中，我将预设板书中的“一、直角坐标系中的锐角三角函数”标题更改为：“三、随意角三角函数（非单位圆中）”这样的更改来源于课堂教学中老师和学生互动之后思维碰撞的聚晶。不仅仅降低了书写“成本”，更好的体现了数学的返璞归真和解决问题的多样性，更加的突出和强调了本节课的重点。二、不足之处

1、学生谈论热忱不高，老师引导不够。学生自己的想法，不擅长和同学老师沟通，不敢大胆的说。我想在此，老师的引导不够，启发不足，激励不多有关。2、课堂中留给学生独立思索，独立表达的时间还不够多，未能让学生更加更好的展示自己的所思所想。3、对学生的学习实力预想略微偏高。三、教材再相识

1、数学课堂的情景创设是关键。虽然这节课情景创设是老掉牙的复习导入初中锐角三角函数，但留意与义务教材的连接，初中教材中只涉及正弦、余弦和正切，在本节的内容比老教材相比三角函数的定义削减了三个，这三个三角函数的删减大大降低三角函数一章的难度，由这三个也可以推导其他几个。定义的引入还有一个最大的特点是利用单位圆定义三角函数是一个创新。我认为它有如下几个优点：一是使正余弦函数干脆对应直角坐标系下一个点的横纵坐标更加清晰、简洁，突出了三角函数的本质。有利于学生理解三角函数是函数的本质；二是使三角函数反映的数形关系更加明白，为后续内容奠定基础。2、本节的重点和难点是对随意角三角函数定义的理解。一要阐述随意角三角函数定义来历，而要说明关系式是函数。在说明是函数上为了不让学生会被函数的概念搅昏，我提出了启发性的问题：给一个a值有一个点的坐标与之对应，所以它们是函数吗？比干脆问他们是不是函数好推断多了。锐角三角函数与随意角三角函数的关系是由特别到一般的关系，首先，要建立锐角三角函数放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，再用终边与单位圆的交点的坐标表示。

3、本节渗透数学思想方法、思维实力

。通过单位圆来定义三角函数，渗透数形结合思想。同时在说明三角函数是函数上体现了函数与方程思想。由锐角三角函数的坐标表示引到随意角的三角函数的坐标表示展示类比的思想。在探究四象限的三角函数的符号特征我采纳探究式学习方式，熬炼了学生的独立思索的实力，也充分呈现学生自学、探究学习的过程。4、数学概念教学。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。，三角函数的概念教学是本节难点，假如老师干脆“告知”学生什么是“随意角三角函数”，就会让学生处于茫然不知所日，在学问接受上有突兀感．在教学中应遵循中学数学新课标的要求，加强概念的引入，引导学生经验从旧知抽象出数学概念的过程．合理设置情境，使学生主动参加教学，了解学问发生发展的背景和过程，使学生感受到学习的乐趣，为了总结出一个结论要建立随意角三角函数概念，角的概念先扩大，即随意角三角函数的概念是抽象度更高、包含范围更广的概念。产生与原认知结构不协调的方面是：要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程，即放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。以上是我对上这课的一点体会