2024-2025学年高中数学第三章不等式3.1基本不等式课时素养评价含解析北师大版必修5

PAGE基本不等式(20分钟35分)1.设0<a<1<b,则肯定有 ()A.logab+logba≥2 B.logab+logba≥-2C.logab+logba≤-2 D.logab+logba>2【解析】选C.因为0<a<1<b,所以logab<0,logba<0,-logab>0,-logba>0,所以(-logab)+(-logba)=(-logab)+QUOTE≥2,当且仅当ab=1时,等号成立,所以logab+logba≤-2.【补偿训练】(2024·宁波高一检测)下列不等式①a2+1>2a;②x2+QUOTE≥1;③QUOTE≥2;④sin2x+QUOTE≥4,其中恒成立的不等式的个数是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】选B.①因为a2+1-2a=(a-1)2≥0,所以a2+1≥2a,故不恒成立;②因为x2+QUOTE=x2+1+QUOTE-1≥2-1=1,当x2+1=1时等号成立,所以x2+QUOTE≥1正确;③若a<0,b<0,则QUOTE<0,故不恒成立;④令t=sin2x∈(0,1],y=t+QUOTE∈[5,+∞),故原不等式sin2x+QUOTE≥4恒成立,所以恒成立的有2个.2.已知等比数列{an}中各项均为正数,公比q≠1,设P=QUOTE,Q=QUOTE,则P与Q的大小关系是 ()A.P<Q B.P>QC.P=Q D.无法确定【解析】选B.由等比数列的性质得Q=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=P,又a2≠a9,故等号不成立,则P>Q.3.已知m>0,n>0,α=m+QUOTE,β=n+QUOTE,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为()A.3 B.4 C.5 【解析】选B.由已知得m+n=2,所以α+β=m+QUOTE+n+QUOTE=(m+n)+QUOTE=2+QUOTE.因为m>0,n>0,所以mn≤QUOTE=1,所以α+β≥2+QUOTE=4,当且仅当m=n=1时等号成立.所以α+β的最小值为4.4.设正数a,使a2+a-2>0成立,若t>0,则QUOTElogatlogaQUOTE(填“>”“≥”“≤”或“<”).【解析】因为a2+a-2>0,所以a<-2或a>1,又a>0,所以a>1,因为t>0,所以QUOTE≥QUOTE,所以logaQUOTE≥logaQUOTE=QUOTElogat.答案:≤5.若a<1,则a+QUOTE与-1的大小关系是.

【解析】因为a<1,即a-1<0,所以-(a-1+QUOTE)=(1-a)+QUOTE≥2QUOTE=2.即a+QUOTE≤-1.答案:a+QUOTE≤-16.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤QUOTE;(2)QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤QUOTE.(2)因为QUOTE+b≥2a,QUOTE+c≥2b,QUOTE+a≥2c,故QUOTE+QUOTE+QUOTE+(a+b+c)≥2(a+b+c),即QUOTE+QUOTE+QUOTE≥a+b+c.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE≥1.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·宣城高一检测)下列不等式肯定成立的是 ()A.QUOTE<1(x∈R) B.x+QUOTE≥2(x≠0)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.lgQUOTE>lgx(x>0)【解析】选C.对于A:因为x2≥0,所以QUOTE≤1,故A不成立;对于B:当x>0时,x+QUOTE≥2QUOTE=2,当且仅当x=QUOTE=1时取等号;当x<0时,-x>0,x+QUOTE=-QUOTE≤-2QUOTE=-2,当且仅当-x=QUOTE=1时取等号;故B错误;对于C:因为(|x|-1)2≥0,所以x2+1≥2|x|,故C正确.对于D:lgQUOTE>lgx(x>0)等价于x2+QUOTE>x,即QUOTE>0,故得x≠QUOTE,而题设x>0,当x=QUOTE时不成立.故D错误.2.若QUOTE<QUOTE<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④QUOTE+QUOTE>2中,正确的不等式是 ()A.①④ B.②③ C.①② D.③④【解析】选A.由于QUOTE<QUOTE<0,所以b<a<0,由此可知①a+b<0<ab,所以①正确.②|b|>|a|,所以②错误.③错误.④由于b<a<0,所以QUOTE>1,有基本不等式得QUOTE+QUOTE>2QUOTE=2,所以④正确.综上所述,正确不等式的序号是①④.3.已知a>0,b>0,给出下列三个不等式:①QUOTE≤QUOTE;②QUOTE≤QUOTE;③QUOTE+QUOTE≥a+b.其中正确的个数是 ()A.0 B.1 C.2 【解析】选D.依题意,因为a>0,b>0,所以QUOTE≥QUOTE≥QUOTE≥QUOTE,当且仅当a=b时等号成立,所以①②正确,因为QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=a+b,当且仅当a=b时等号成立,所以③正确.4.(2024·滨州高一检测)小王从甲地到乙地前后半程的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则 ()A.a<v<QUOTE B.v=QUOTEC.QUOTE<v<QUOTE D.v=QUOTE【解析】选A.设甲地到乙地的总路程为s所以v=QUOTE=QUOTE,因为a>0,b>0,所以a+b≥2QUOTE当且仅当a=b时,取等号,又b>a,所以a+b>2QUOTE,所以v=QUOTE<QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE>1,所以v=QUOTE>a故a<v=QUOTE<QUOTE.【误区警示】不能正确列出关系式是本题的最大易错点.5.(2024·珠海高一检测)若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是 ()A.QUOTE≤QUOTE B.QUOTE+QUOTE≥QUOTEC.QUOTE≥2 D.QUOTE≥1【解析】选B.对于选项A,因为0<x+y≤4,所以QUOTE≥QUOTE,故A不恒成立;对于选项B,因为QUOTE+QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,又因为4≥x+y≥2QUOTE,所以0<QUOTE≤2,所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE+QUOTE≥1≥QUOTE,故B成立;对于选项C,因为4≥x+y≥2QUOTE,所以QUOTE≤2,故C不恒成立;对于选项D,由4≥x+y≥2QUOTE,所以QUOTE≤2,即0<xy≤4,所以QUOTE≥QUOTE,故D不恒成立.【光速解题】选B.特值法:令x=y=1,则可解除A,C;令x=y=2,则可解除D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.给出以下结论:①当a≠0时,a2+QUOTE≥2;②对随意x,y∈R,2x+2y≥2QUOTE;③当x>y>0时,有QUOTE≤QUOTE.其中正确的结论的序号是.

【解题指南】利用基本不等式对式子逐一验证,要留意等号成立的条件是否满意.【解析】当a≠0时,a2>0,QUOTE>0,所以a2+QUOTE≥2QUOTE=2,当且仅当a=±1时取等号,故①正确;对随意x,y∈R,2x>0,2y>0,所以2x+2y≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当x=y时取等号,故②正确;当x>y>0时,应有QUOTE>QUOTE,故③错误.答案:①②【补偿训练】设a>0,b>0,给出下列不等式:①a2+1>a;②QUOTE≥4;③a2+9>6a.其中恒成立的是.(填序号)

【解析】由于a2+1-a=(a-QUOTE)2+QUOTE>0,故①恒成立;由于a+QUOTE≥2,b+QUOTE≥2,所以QUOTE≥4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故②恒成立;当a=3时,a2+9=6a,故③不恒成立.综上,恒成立的是①②.答案:①②7.(2024·张家界高一检测)设a,b为正数,A为a,b的等差中项,G为a,b的等比中项,则A与G的大小关系为AG.(用“>”“<”“≥”“≤”填空)

【解析】因为a,b为正数,A为a,b的等差中项,G为a,b的等比中项,则A=QUOTE,G=±QUOTE,又QUOTE≥QUOTE,当且仅当a=b时取等号,又QUOTE≥±QUOTE,所以A≥G.答案:≥8.(2024·菏泽高一检测)设a,b∈R,则下列不等式肯定成立的是.(填写序号)

①a2+b2≥2ab;②a+QUOTE≥2;③b2+1≥2b;④|QUOTE|+|QUOTE|≥2.【解析】①当a,b∈R时,a2+b2≥2ab成立,故①正确;②当a>0时,a+QUOTE≥2,等号成立的条件是a=1,当a<0时,a+QUOTE≤-2,等号成立的条件是a=-1,故②不正确;③当b∈R时,b2+1-2b=QUOTE≥0,所以b2+1≥2b,故③正确;④|QUOTE|>0,|QUOTE|>0,所以|QUOTE|+|QUOTE|≥2QUOTE=2,等号成立的条件是当且仅当|QUOTE|=|QUOTE|,即a2=b2,故④正确.答案:①③④三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a,b,c>0,求证:a+b+c≥QUOTE+QUOTE+QUOTE.【证明】因为a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2QUOTE,b+c≥2QUOTE,a+c≥2QUOTE,所以2(a+b+c)≥2(QUOTE+QUOTE+QUOTE),即a+b+c≥QUOTE+QUOTE+QUOTE,当且仅当a=b=c时等号成立.10.(2024·张家港高一检测)已知a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2QUOTE(a-b).【证明】因为a>b,所以a-b>0,又ab=1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=a-b+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE即QUOTE≥2QUOTE,即a2+b2≥2QUOTE,当且仅当a-b=QUOTE,即a-b=QUOTE时取等号.1.△ABC三边a,b,c满意a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,则△ABC的形态是【解析】由a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,三式相加可得:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,当且仅当a=b=c时等号成立,答案:等边三角形2.是否存在常数c,使得不等式QUOTE+QUOTE≤c≤QUOTE+QUOTE