2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.2.1复数的加法与减法学案新人教B版必修第四册

PAGE10.2.1复数的加法与减法必备学问·自主学习导思1.向量加法与减法的几何意义是什么?2.复数模的几何意义是什么?1.复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1,z2,z3∈C,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且,不共线项目加法减法运算法则z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=(a-c)+(b-d)i几何意义复数的和z1+z2与向量+=的坐标对应复数的差z1-z2与向量-=的坐标对应运算律交换律z1+z2=z2+z1结合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(1)两个复数的和是个什么数?它的值唯一确定吗?提示:是复数,唯一确定.(2)若复数z1,z2满意z1-z2>0,能否认为z1>z2?提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.2.复数和与差的肯定值不等式.||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)复数与向量一一对应. ()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数. ()(3)复数的减法不满意结合律,即(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立. ()提示:(1)×.复数与以原点为起点的向量一一对应.(2)×.复数与复数相加减后结果是复数.(3)×.复数的减法满意结合律.2.复数(1-i)-(2+i)+3i等于 ()A.-1+i B.1-iC.i D.-i【解析】选A.原式=1-i-2-i+3i=-1+i.3.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为z1-z2=5-7i,所以z1-z2在复平面内对应的点位于第四象限.4.(教材二次开发:例题改编)设z1=-6-2i,z2=6-18i其中i为虚数单位.若z=z1+z2,则z在复平面上对应点的坐标为.

【解析】z=z1+z2=-6-2i+6-18i=-20i,则z在复平面上对应点的坐标为(0,-20).答案:(0,-20)关键实力·合作学习类型一复数的加、减运算(数学运算)1.计算:(2+4i)+(3-4i)=.

【解析】原式=(2+3)+(4-4)i=5.答案:52.计算:(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=.

【解析】原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.答案:-2+2i3.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=.

【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以QUOTE解得a=3.答案:34.(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a,b∈R).

【解析】(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.答案:-a+(4b-3)i5.已知复数z满意|z|+z=1+3i,则z=.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),|z|=QUOTE,所以|z|+z=(QUOTE+x)+yi=1+3i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-4+3i.答案:-4+3i复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要精确地提取复数的实部与虚部.(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最终把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.(4)当一个等式中同时含有|z|与z时,一般用待定系数法,设z=x+yi(x,y∈R).类型二复数的加、减运算的几何意义(直观想象)【典例】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)对角线表示的复数;(3)对角线表示的复数.【思路导引】利用复数的几何意义以及向量的运算求解.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为对角线=+,所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.典例的条件不变,求向量表示的复数.【解析】因为=+,由解析可知,表示的复数为-3-2i,表示的复数为1+6i,所以向量表示的复数为(-3-2i)+(1+6i)=-2+4i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能变更.(2024·烟台高一检测)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求,,对应的复数;(2)推断△ABC的形态;(3)求△ABC的面积.【解析】(1)对应的复数为zB-zA=(2+i)-1=1+i.对应的复数为zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i.对应的复数为zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.(2)由(1)知||=QUOTE=QUOTE,||=QUOTE=QUOTE,||=QUOTE=2QUOTE,所以||2+||2=||2,所以△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=QUOTE||·||=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=2.类型三复数问题几何化(直观想象)【典例】若z∈C,i为虚数单位,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.【思路导引】依据|z+2-2i|=1,结合复数减法的模的几何意义,推断出z对应点的轨迹,再依据复数减法的模的几何意义,结合圆的几何性质,求得|z-2-2i|的最小值.【解析】由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,因此复数z对应的点Z在以z0=-2+2i对应的点Z0为圆心,1为半径的圆上,如图所示.设y=|z-2-2i|,则y是Z点到2+2i对应的点A的距离.又QUOTE=4,所以由图知ymin=|AZ0|-1=3.转化思想与数形结合思想在复数模问题中的应用|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.假如复数z满意|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ()A.1 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选A.设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.课堂检测·素养达标1.若复数z满意z+i-3=3-i,则z等于 ()A.0 B.2i C.6 D.6-2i【解析】选D.z=3-i-(i-3)=6-2i.2.复数z1=3+i,z2=-1-i,则z1-z2等于 ()A.2 B.2+2i C.4+2i D.4-2i【解析】选C.z1-z2=4+2i.3.设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为 ()A.1+i B.2+iC.3 D.-2-i【解析】选D.由QUOTE得QUOTE所以a+bi=-2-i.4.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为.

【解析】=-=-(+)=3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i.答案:4-4i5.(教材二次开发:练习改编)若复数z满意3z+QUOTE=1+i,其中i为虚数单位,则z=.

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则3(a+bi)+a-bi=1+i⇒4a=1且2b=1⇒z=QUOTE+QUOTEi.答案:QUOTE+QUOTEi六复数的加法与减法(15分钟30分)1.已知复数z满意z+2i-5=7-i,则|z|= ()A.12 B.3 C.3QUOTE D.9【解析】选C.由题意知z=7-i-(2i-5)=12-3i,所以|z|=QUOTE=3QUOTE.2.设向量,,对应的复数分别为z1,z2,z3,则 ()A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0【解析】选D.因为+=,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于 ()A.-3i B.3i C.±3i D.4i【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,所以a=0,b+3≠0,又|b|=3,所以b=3,z=3i.4.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为 ()A.3 B.2 C.1 D.-1【解析】选D.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,所以a=-1.【补偿训练】复数z1=-3+i,z2=1-i,则复数z=z1-z2在复平面内所对应的点在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为z1=-3+i,z2=1-i,所以复数z=z1-z2=-3+i-(1-i)=-4+2i,其在复平面内对应的点的坐标为(-4,2),位于其次象限.5.(2024·青岛高一检测)已知i为虚数单位,设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=.

【解析】因为z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以QUOTE即QUOTE所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.答案:-1+10i6.(2024·上海高一检测)设z1=1-i,z2=a+2aiQUOTE,其中i是虚数单位,若复数z1+z2是纯虚数,则a=.

【解析】因为z1=1-i,z2=a+2ai,所以z1+z2=a+1+QUOTEi,因为复数z1+z2是纯虚数,所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.答案:-1(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是 ()A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i【解析】选D.依题意有==-.而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,故对应的复数为4-2i.2.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于 ()A.QUOTE B.5QUOTEC.QUOTE D.5QUOTE【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5QUOTE.3.z∈C,若|z|-QUOTE=1+2i,则z= ()A.QUOTE-2i B.QUOTE+2iC.2+2i D.2-2i【解析】选B.设z=a+bi则|z|-QUOTE=QUOTE-a+bi=1+2i,故QUOTE故QUOTE故z=QUOTE+2i.4.已知z∈C且QUOTE=1,则QUOTE(i为虚数单位)的最小值是 ()A.2QUOTE-1 B.2QUOTE+1C.QUOTE D.2QUOTE【解析】选A.因为|z|=1且z∈C,作图如图:因为|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2QUOTE-1.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.对随意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是 ()A.z-QUOTE=2a B.|z|=|QUOTE|C.z+QUOTE=2a D.z+QUOTE=2bi【解析】选BC.已知z=a+bi,则QUOTE=a-bi.选项A,z-QUOTE=QUOTE-QUOTE=2bi≠2a,错误.选项B,|z|=QUOTE,|QUOTE|=QUOTE=QUOTE,正确.选项C,z+QUOTE=2a,故C正确,D错误.6.已知复数z1=2+ai,z2=a+iQUOTE,且复数z1-z2在复平面内对应的点位于其次象限,则a的取值可以是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选CD.由题得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于其次象限,所以QUOTE所以a>2.【补偿训练】(2024·苏州高一检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是 ()A.若复数z满意|z-i|=QUOTE,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,QUOTE为半径的圆上B.若复数z满意z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若QUOTE=QUOTE,则⊥【解析】选CD.满意|z-i|=QUOTE的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,QUOTE为半径的圆上,A错误;在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=QUOTE.由z+|z|=2+8i,得a+bi+QUOTE=2+8i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由QUOTE=QUOTE的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.设复数z满意z+|z|=2+i,则z=.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=QUOTE.所以x+yi+QUOTE=2+i.所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE+i.答案:QUOTE+i8.若|z|=2,则|z-1|的最小值是.

【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1.答案:1四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数|z|=2,求复数1+QUOTEi+z的模的最大值、最小值.【解析】由已知,复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上,设w=1+QUOTEi+z,所以z=w-1-QUOTEi,所以|z|=|w-(1+QUOTEi)|=2.于是复数w对应的点在复平面内以(1,QUOTE)为圆心,半径为2的圆上,如图所示,此时圆上的点A对应的复数wA的模有最大值,圆上的点B对应的复数wB的模有最小值,故|1+QUOTEi+z|max=4,|1+QUOTEi+z|min=0.10.在平行四边形ABCD中,已知,对应的复