四川省内江市2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

2024-2025学年四川省内江市高二（上）第一次联考数学试卷一、单选题:本题共9小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）在平面直角坐标系中，圆心为（1，0），半径为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x+1）2+y2＝2 C．（x﹣1）2+y2＝4 D．（x+1）2+y2＝42．（5分）直线x﹣y+2＝0与x+y﹣2＝0的交点坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（﹣1，1）3．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，则下列点在圆C内的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（2，1） D．（，）4．（5分）已知空间中点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（）A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．3或﹣4 D．﹣3或45．（5分）过点（1，2），且与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．x﹣2y+3＝0 C．2x+y﹣4＝0 D．x+2y﹣5＝06．（5分）已知向量，分别为平面α和平面β的法向量，则平面α与平面β的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．120°7．（5分）一条光线从点P（5，3）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A．x+y﹣2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y+2＝0 D．x+y+2＝08．（5分）已知（m，n）为直线x+y﹣1＝0上的一点，则的最小值为（）A． B． C．4 D．9．已知直线l：2x+（a﹣3）y﹣a﹣1＝0，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（）A．2x+y﹣5＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．3x﹣4y+2＝0 D．4x﹣2y+1＝0二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。（多选）10．（6分）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．若，则m＝4，n＝﹣4 B．若，则m＝﹣4，n＝4 C．若，则m﹣n+1＝0 D．若，则n﹣m+1＝0（多选）11．（6分）下列说法正确的有（）A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则（k，b）在第二象限 B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C．过点（2，﹣1）斜率为﹣的点斜式方程为y+1＝﹣（x﹣2） D．直线的斜率越大，倾斜角越大（多选）12．（6分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是棱AA1、D1C1、BC的中点，下列结论正确的有（）A．A1C1∥平面EFG B．B1D⊥平面EFG C．过E、F、G三点所得正方体的截面的面积为3 D．平面EFG与平面ABCD所成角的正切值为（多选）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列说法正确的是（）A．直线BC1与CA1所成的角为90° B．点B与平面ACB1的距离为 C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30° D．平面ACD1与平面ABCD所成的角为45°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分。14．（5分）若＝（﹣1，λ，﹣2）与＝（2，﹣1，1）的夹角为120°，则λ的值为．15．（5分）若直线2x﹣y+a＝0始终平分圆x2+y2﹣4x+4y＝0的周长，则a的值为．16．（5分）如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且，，，则x+y+z＝．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是线段B1C1，A1D的中点，设．用表示＝．四、解答题18．（13分）已知直线l1：ax﹣（a﹣4）y+2＝0，直线l2：2x+ay﹣1＝0．（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．19．（15分）在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x﹣2y+1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A的坐标．（2）求直线BC的方程．20．（15分）已知两直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．（1）求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y﹣5＝0的直线方程；（2）已知两点A（﹣1，1），B（0，2），动点P在直线l1上运动，求|PA|+|PB|的最小值．21．（17分）已知圆C：x2+y2+ax﹣3＝0，圆心坐标为（1，0）．（1）求圆C的一般方程；（2）若点P为圆C上的动点，定点Q（﹣1，4），求满足条件﹣＝的点M的轨迹方程并判断它的形状．22．（17分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（1）求证：EF∥平面CPM；（2）求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；（3）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离．

2024-2025学年四川省内江市高二（上）第一次联考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题:本题共9小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）在平面直角坐标系中，圆心为（1，0），半径为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝2 B．（x+1）2+y2＝2 C．（x﹣1）2+y2＝4 D．（x+1）2+y2＝4【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程．【解答】解：由题意可得方程为（x﹣1）2+y2＝4．故选：C．【点评】本题考查的知识点：圆的方程，主要考查学生的运算能力，属于中档题．2．（5分）直线x﹣y+2＝0与x+y﹣2＝0的交点坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（﹣1，1）【分析】建立方程组进行求解即可求出直线交点坐标．【解答】解：由得，即交点坐标为（0，2），故选：A．【点评】本题主要考查直线交点坐标的计算，转化为方程组是解决本题的关键．3．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，则下列点在圆C内的是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（2，1） D．（，）【分析】由题意，将选项点的坐标代入圆的方程，可得结论．【解答】解：由题意圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，将（，）代入圆的方程，可得（﹣1）2+（﹣1）2＝＜1，所以（，）在圆C内，故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）已知空间中点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（）A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．3或﹣4 D．﹣3或4【分析】根据空间中两点间的距离公式，列出方程求出实数x的值．【解答】解：点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，∴＝2，化简得（x﹣2）2＝16，解得x＝6或x＝﹣2，∴实数x的值是6或﹣2．故选：A．【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式与应用问题，是基础题目．5．（5分）过点（1，2），且与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．x﹣2y+3＝0 C．2x+y﹣4＝0 D．x+2y﹣5＝0【分析】与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程的斜率k＝2，由此能求出过点P（1，2）与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程的斜率k＝2，∴过点P（1，2）与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），整理，得2x﹣y＝0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用6．（5分）已知向量，分别为平面α和平面β的法向量，则平面α与平面β的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．120°【分析】根据坐标可求出，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案．【解答】解：由已知可得，，，所以．设θ为平面α与平面β的夹角，则θ∈[0°，90°]，又，所以θ＝60°．故选：C．【点评】本题主要考查二面角以及空间向量的运用，属于中档题．7．（5分）一条光线从点P（5，3）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A．x+y﹣2＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y+2＝0 D．x+y+2＝0【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点Q（2，0），点P′（5，﹣3），再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程．【解答】解：由题意可得反射光线所在直线经过点Q（2，0），设点P（5，3）关于x轴的对称点为P′（5，﹣3），则根据反射定律，点P′（5，﹣3）在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线的方程为＝，即x+y﹣2＝0，故选：A．【点评】本题主要考查反射定律，用两点式求直线的方程，属于基础题．8．（5分）已知（m，n）为直线x+y﹣1＝0上的一点，则的最小值为（）A． B． C．4 D．【分析】转化为两点间的距离之和，求出对称点，即可求解结论．【解答】解：设P（m，n）为直线x+y﹣1＝0上的一点，则为点P（m，n）到原点O和到点A（﹣2，0）的距离之和，即|PO|+|PA|．设O（0，0）关于直线x+y﹣1＝0对称的点为B（a，b），则，得，即B（1，1）．易得|PO|＝|PB|，当A，P，B三点共线时，|PO|+|PA|取到最小值，且最小值为．故选：A．【点评】本题主要考查点关于直线的对称点，考查计算能力，属于基础题．9．已知直线l：2x+（a﹣3）y﹣a﹣1＝0，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（）A．2x+y﹣5＝0 B．x+2y﹣4＝0 C．3x﹣4y+2＝0 D．4x﹣2y+1＝0【分析】首先求出直线l过定点A（2，1），然后当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，即可求解．【解答】解；由2x+（a﹣3）y﹣a﹣1＝0可得2x﹣3y﹣1+a（y﹣1）＝0，令，解得，故直线l过定点A（2，1），当OA⊥l时，原点O到l的距离最大，因为，所以直线l的斜率为﹣2，所以直线l的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．故选：A．【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。（多选）10．（6分）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．若，则m＝4，n＝﹣4 B．若，则m＝﹣4，n＝4 C．若，则m﹣n+1＝0 D．若，则n﹣m+1＝0【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出m，n的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出m，n的关系判断C，D．【解答】解：若，则，得m＝4，n＝﹣4，故A正确，B错误；若，则，即m﹣n+1＝0，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．（多选）11．（6分）下列说法正确的有（）A．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则（k，b）在第二象限 B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C．过点（2，﹣1）斜率为﹣的点斜式方程为y+1＝﹣（x﹣2） D．直线的斜率越大，倾斜角越大【分析】A中，由直线y＝kx+b过第一、二、四象限得出k、b的取值范围，判断点（k，b）所在象限；B中，说明倾斜角为90°时斜率不存在；C中，由点斜式方程写出对应的直线方程；D中，在[0°，180°）时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大．【解答】解：对于A，若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以点（k，b）在第二象限，选项A正确；对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误；对于C，由点斜式方程知，过点（2，﹣1）斜率为﹣的点斜式方程为y+1＝﹣（x﹣2），所以选项C正确；对于D，在[0°，90°）内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在（90°，180°）时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0°，180°）时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．（多选）12．（6分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是棱AA1、D1C1、BC的中点，下列结论正确的有（）A．A1C1∥平面EFG B．B1D⊥平面EFG C．过E、F、G三点所得正方体的截面的面积为3 D．平面EFG与平面ABCD所成角的正切值为【分析】取A1D1，C1C，AB的中点M，N，K，由正方体的结构特征可知E，M，F，N，G，K共面，且为正六边形．由MF∥A1C1，得A1C1∥平面EFG，A选项正确；通过证明平面EFG∥平面A1C1B，B1D⊥平面A1C1B，得B1D⊥平面EFG，B选项正确；正六边形EMFNGK的边长为，然后求出截面的面积即可判断C；因为B1D⊥平面EFG，B1B⊥平面ABCD，所以平面EFG与平面ABCD所成角等于直线B1D与B1B所成角，解直角三角形DB1B即可．【解答】解：取A1D1，C1C，AB的中点M，N，K，由正方体的结构特征可知E，M，F，N，G，K共面，且为正六边形．A选项，因为MF∥A1C1，A1C1⊄平面EFG，MF⊂平面EFG，所以A1C1∥平面EFG，正确；B选项，因为MF∥A1C1，EK∥A1B，所以MF∥平面A1C1B，EK∥平面A1C1B，又MF与EK为相交直线，所以平面EFG∥平面A1C1B，正确；在正方体中，B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥平面EFG．C选项，正六边形EMFNGK的边长为，所以面积为，正确．D选项，因为B1D⊥平面EFG，B1B⊥平面ABCD，所以平面EFG与平面ABCD所成角等于直线B1D与B1B所成角．在直角三角形DB1B中，tan∠DB1B＝，错误．故选：ABC．【点评】本题以正方体为背景考查几何体的截面问题，线面平行与线面垂直的判定，面面角，属于中档题．（多选）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列说法正确的是（）A．直线BC1与CA1所成的角为90° B．点B与平面ACB1的距离为 C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30° D．平面ACD1与平面ABCD所成的角为45°【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量相关公式求解线线角，点到平面的距离，面面角和线面角的大小．【解答】解：以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A选项，则B（1，1，1），C1（0，1，0），C（0，1，1），A1（1，0，0），B1（1，1，0），A（1，0，1），故，故，故直线BC1与CA1所成的角为90°，故A正确；B选项，设平面ACB1的法向量为，则，则，令y＝1得，x＝1，z＝1，故，故点B到平面ACB1的距离为，故B正确；C选项，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，故平面BB1D1D的一个法向量为，设直线BC1与平面BB1D1D所成的角大小为θ，显然，故直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C正确；D选项，设平面ACD1的法向量为，则，则，令x1＝1，则y1＝1，z1＝﹣1，故，平面ABCD的法向量为，故，故平面ACD1与平面ABCD所成的角不为45°，故D不正确．故选：ABC．【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分。14．（5分）若＝（﹣1，λ，﹣2）与＝（2，﹣1，1）的夹角为120°，则λ的值为λ＝17或λ＝﹣1．【分析】根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：∵＝（﹣1，λ，﹣2）与＝（2，﹣1，1），∴，，∴，解得λ＝17或λ＝﹣1．故答案为：λ＝17或λ＝﹣1．【点评】本题主要考查空间向量的夹角公式，属于基础题．15．（5分）若直线2x﹣y+a＝0始终平分圆x2+y2﹣4x+4y＝0的周长，则a的值为﹣6．【分析】根据题意，可求出圆心C的坐标，利用点在直线上求出a的值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y＝0可化为（x﹣2）2+（y+2）2＝8，圆心为C（2，﹣2）．因为直线2x﹣y+a＝0始终平分圆x2+y2﹣4x+4y＝0的周长，所以圆心C（2，﹣2）在直线上，可得2×2﹣（﹣2）+a＝0，解得a＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质等知识，属于基础题．16．（5分）如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且，，，则x+y+z＝．【分析】利用空间向量的加法与减法运算可得出关于、、的表达式，可得出x、y、z的值，由此可得出x+y+z的值．【解答】解：因为，，则，，＝，所以，，，，故．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是线段B1C1，A1D的中点，设．用表示＝+（+）．【分析】根据平面向量的基本定理化简即可．【解答】解：＝+＝+＝+（+）＝+（+）．故答案为：+（+）．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．四、解答题18．（13分）已知直线l1：ax﹣（a﹣4）y+2＝0，直线l2：2x+ay﹣1＝0．（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参．【解答】解：（1）因为l1∥l2，所以a2+2（a﹣4）＝0，整理得a2+2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）＝0，解得a＝2或a＝﹣4．当a＝﹣4时，l1：﹣4x+8y+2＝0，l2：2x﹣4y﹣1＝0，l1，l2重合；当a＝2时，l1：2x+2y+2＝0，l2：2x+2y﹣1＝0，符合题意．故a＝2．（2）因为l1⊥l2，所以2a﹣a（a﹣4）＝0，解得a＝6或a＝0．【点评】本题考查了两条直线位置关系的应用，属于基础题．19．（15分）在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x﹣2y+1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A的坐标．（2）求直线BC的方程．【分析】（1）通过联立方程组求得A点坐标；（2）先算出直线BC的斜率，再利用点斜式求得直线BC的方程．【解答】解：（1）由，解得，可得A（﹣1，0）；（2）BC边上的高所在直线x﹣2y+1＝0的斜率为，所以直线BC的斜率为﹣2，可得直线BC的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4＝0．【点评】本题主要考查直线的方程、垂直的两条直线的斜率关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．20．（15分）已知两直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x+2y﹣5＝0．（1）求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y﹣5＝0的直线方程；（2）已知两点A（﹣1，1），B（0，2），动点P在直线l1上运动，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程；（2）由对称性得出点B（0，2）关于直线l1对称的点为C（x，y），进而结合图像得出最值．【解答】解：（1）联立，解得x＝1，y＝2，因为所求直线垂直于直线3x+4y﹣5＝0，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即4x﹣3y+2＝0；（2）设点B（0，2）关于直线l1对称的点为C（x，y），，解得，则，故|PA|+|PB|的最小值为．【点评】本题考查直线的方程的求法和对称性问题的求解，属于中档题．21．（17分）已知圆C：x2+y2+ax﹣3＝0，圆心坐标为（1，0）．（1）求圆C的一般方程；（2）若点P为圆C上的动点，定点Q（﹣1，4），求满足条件﹣＝的点M的轨迹方程并判断它的形状．【分析】（1）根据圆的一般方程求解；（2）设点M的坐标为（x，y），点P（x0，y0），由＝可得，再代入圆C的方程化简整理即可．【解答】解：（1）因为圆C的圆心为（1，0），所以，即a＝﹣2，则圆C的一般方程为x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）设点M的坐标为（x，y），点P（x0，y0），易得，，由得＝，所以解得，因为点P（x0，y0）为圆C上的动点，所以满足，所以（2x+1）2+（2y﹣4）2﹣2（2x+1）﹣3＝0，化简得点M的轨迹方程为x2+y2﹣4y+3＝0，因为02+（﹣4）2﹣4×3＝4＞0，所以点M的轨迹的形状为圆．【点评】本题主要考查了圆的一般方程和标准方程，考查了求动点的轨迹方程，属于中档题．22．（17分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，A