24.1.2《垂直于弦的直径》光讲义

24.1.2《垂直于弦的直径》光讲义

赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题导入？OAB把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．●O探究一：探究二：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.那么右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?你能发现图中有那些相等的线段和弧?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧①CD是直径②CD⊥AB可推得③AE=BE,⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．转化为数学符号：下列图形是否具备垂径定理的条件？OEDCAB深化：垂径定理的几个基本图形：巩固：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）D、∠COE=∠DOEA、CE=DEC、OE=AEB、BD=BC⌒⌒·OABECDc2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm。·OABE解：连接OA

∵OE⊥AB∴∴AB=2AE=16cm3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA∴∴即⊙O的半径为5cm.4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。·OABECD解：连接OA，∵CD是直径，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD的长为26.如图：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.过点M作直径CD二、你能发现图中有哪些等量关系?●O一、右图是轴对称图形吗?如果是对称轴是什么?CD由①CD是直径③CD⊥AB,②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB探究三：证明：连接OA,OB,●OABCDM则OA=OB.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠

BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.应用：OABDCr

如图用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为r.

经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C,根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.

在图中,因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.小结

直径平分弦直径垂直于弦=>

直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧

=>

１、圆的轴对称性２、垂径定理及其推论的图式当堂检测：1、如图，弦AB的长为24cm，弦心距OC=5cm，则⊙O的半径R=__________cm.

2、如图直径为10cm的圆中，圆心到弦AB的