数学素材：教材梳理第一讲三相似三角形的判定及性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、三角形相似的预备定理在初中，我们已经学过相似三角形的知识，其定义是如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例，那么称这两个三角形相似。对于三角形相似，其中对应边的比值叫做相似比(或相似系数）.利用上一节所学的平行线分线段成比例定理,可得预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形相似。其原理如下:如图1—3-2，△ABC中，DE∥BC,则由平行线分线段成比例定理，有，而由DE∥BC，易得∠D=∠B，∠E=∠C，又∠A是公共角，所以△ABC与△ADE具备相似的条件，即△ABC中，若DE∥BC，则△ABC∽△ADE.图1二、相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法有：(1)定义法，即对应边成比例,对应角相等的三角形是相似三角形。当然有了判定定理后，就不用定义判定了，这是因为定义中的条件太多，实际上并不需要.（2)平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理,即①判定定理1:两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2：两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似;③判定定理3:三边对应成比例，两三角形相似。方法点拨在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似。因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.在连续两次证明相似时，在第二次使用判定定理2的情况较多.辨析比较对于直角三角形相似的判定,除以上方法外，还有其他特殊的方法:(1）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似；（2）如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用.三、相似三角形的性质如果两个三角形相似,那么它们的形状相同，只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是:（1)相似三角形对应角相等,对应边成比例;（2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（3)相似三角形的周长比等于相似比；（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方；(5）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.问题·探究问题在初中，我们已经学过全等三角形，两个全等三角形的大小、形状是完全一样的，相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形,显然,当两个相似三角形的相似比为1的时候，相似三角形就成了全等三角形，那么,这两者之间有哪些联系和差别呢？思路：鉴于相似三角形和全等三角形的类似点，在学习相似三角形的性质时,可以类比全等三角形的性质来研究.探究:用表格的形式对两者作比较:全等三角形相似三角形1对应边相等对应边成比例2对应角相等对应角相等3对应中线相等对应中线的比等于相似比4对应角平分线相等对应角平分线的比等于相似比5对应高相等对应高的比等于相似比6周长相等周长比等于相似比7面积相等面积比等于相似比的平方从两者的对比中可以发现,当两个相似三角形的相似比为1时，二者完全相同，所以我们研究相似三角形的性质的时候,切记从相似比入手即可，涉及到线段的比均等于相似比,只有面积的比是相似比的平方。典题·热题例1如图1-图1A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC。△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC思路分析：本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项。答案:C深化升华判定三角形相似，首先考虑两角对应相等,特别是当图形中只有角的关系时，常常通过角的转换实现角的相等关系，还应该多注意公共角这一隐含条件的使用.例2如图1-3-4所示，已知D是△ABC中AB边上的一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S图1A.2B.4C思路分析：由题易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4，∴AE∶EC＝1∶2,AE∶AC＝1∶3。∴S△ADE∶S△ABC=1∶9。∴SBFED=5。答案:C例3如图1—3-图1思路分析:有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形的对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°。又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC.∴BC2=AB·CD.∴AD2=AC·CD。深化升华(1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式ab=cd或平方式a2=bc，一般都是先证明比例式或,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例4如图1-图1（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC＝10,求DE的长.思路分析：第(1)问,∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF。又D是BC中点，ED⊥BC，∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.第（2)问利用相似三角形的性质，作AM⊥BC于M,易知S△ABC=4S△FCD。∴S△ABC=20，AM=4。又∵AM∥ED，∴,再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE.也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出S△ABC=20.(1）证明：∵DE⊥BC,D是BC中点，∴EB=EC。∴∠B=∠1.又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB。∴△ABC∽△FCD.(2）解法一：过点A作AM⊥BC，垂足为点M。∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴2=4.又∵S△FCD=5，∴S△ABC=20。∵S△ABC=BC·AM，BC=10，∴20=×10×AM.∴AM=4.又∵DE∥AM，∴.∵DM=DC=,BM=BD＋DM,BD=BC=5，∴∴DE=.解法二：作FH⊥BC，垂足为点H。图1∵S△FCD=DC·FH，又∵S△FCD=5，DC=BC=5，∴5=×5×FH。∴FH=2.过点A作AM⊥BC，垂足为点M，∵△ABC∽△FCD，∴=。∴AM=4.又∵FH∥AM，∴==.∴点H是DM的中点.又∵FH∥DE，∴。∵HC=HM＋MC=,∴。∴DE=.例5如图1-3—8，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18m，已知小明的身高是图1(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?（2)求古塔的高度。思路分析:由题意,知△ABC与△ADE相似,这是因为两个三角形均为直角三角形，并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解:(1）△ABC∽△ADE。理由如下:∵BC⊥AE，DE⊥AE,∴∠ACB＝∠AED＝90°。∵∠A＝∠A,∴△ABC∽△ADE.（2）由(1）得△ABC∽△ADE，∴。∵AC＝2m,AE＝2＋18＝20（m）,BC＝1.6m。∴.∴DE=16.答:古塔的高度为16m。例6一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米,面积为1。5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3—9(1)、(2）所示。那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。(1）(2)图1思路分析：两个图形中均有相似三角形，图(1）中，即,可得正方形的边长，图（2）中可运用相似比等于对应高的比列出等式，进而求出正方形的边长.解:由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2