数学素材：教材梳理第二讲一圆周角定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、圆周角定理圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是，圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系.疑点突破在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的：当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系;然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角之间的关系.在角的一边不经过圆心时，又有两种情况:一是圆心在圆周角内；二是圆心在圆周角外。经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行，后面还会遇到这种分情况证明的定理。方法归纳通过对这个定理的分析、证明，我们可以看到,在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为特殊情况下的问题往往容易解决，如图2-1—联想发散定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.图2二、圆周角定理的两个推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。如图2—图2—1—3图2推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如图2—深化升华圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据，而且为角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见的一些问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会。问题·探究问题1在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？思路：在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角。同弧所对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推论提供了条件.探究:在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识,应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角，如图2—1-5中,已知,那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧，再由弧找角，如图2—1—6中，AD平分∠BAC,得∠1=∠2，∠1对，∠2对，∠3也对，故∠1=∠2=∠3，如果要证△DCB∽△DAB，无疑两个相等的角为此提供了条件。图2—1—5图2问题2在圆中，直径所对的圆周角等于90°,解决问题时应怎样利用这一条件？思路:只要在已知中给出了直径这一条件，不仅要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角，便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了.探究:如图2-1—7，以CD为直径的⊙O交△ACD的两边于B、E，连结BE。求证：ADcosA=AB。此题必须先证AD、AB所在的△ABD为直角三角形，此时连结BD，可由直径所对的圆周角为90°，创造所需的条件.又如图2图2—1-7图2典题·热题例1如图2—思路分析：圆周角∠ACB与圆心角∠AOB对着同一条弧,图2∴∠ACB=∠AOB.同理,∠BAC=∠BOC,再利用已知条件可得结论.证明：∵∠ACB=∠AOB,∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=∠BOC。又∵∠BAC=∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.深化升华只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的中介作用。例2如图2-图2求证：。思路分析:要证，虽然四条线段分别在△BEF与△BCF中，但这两个三角形一个是钝角三角形，另一个是直角三角形，不可能相似，故只能够借助中间比。证明：连结CE，∵BC为⊙O的直径,∴∠BFC=90°，∠BEC=90°.又∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠A。又∵∠BFE=∠BCE，∴∠BFE=∠A。∴△BEF∽△BAD.∴.∵∠BFC=∠BCA，∠CBD=∠CBD，∴△CBF∽△DBC.∴。又∵AD=CD，∴。例3已知⊙O中，AB=AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于E.求证：AB2=AD·AE.图2思路分析:由欲证的乘积式写出比例式,找到应该证明的相似的三角形，利用同弧所对的圆周角相等的性质进行证明.证明：∵AB=AC，∴=AC。∴∠ABD=∠AEB。在△ABE与△ADB中,∴△ABE∽△ADB.∴,即AB2=AD·AE.深化升华在圆当中证明比例式或等积式时,通常利用两角相等加以说明,这当中使用最多的就是利用圆周角转移角的位置，产生相似关系.例4已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆O的直径。求证：∠BAE=∠DAC。图2思路分析：连结BE，由AE为直径可以得到∠ABE=90°。则在△ABE与△ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，可以证明结论。证明：连结BE,∵AE为直径，∴∠ABE=90°。∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°.∴∠ADC=∠ABE.∵∠E=∠C,∴∠BAE=180°—∠ABE—∠E，∠DAC=180°-∠ADC-∠C.∴∠BAE=∠DAC.例5已知△ABC的外接圆中,D、E分别为与的中点，弦DE交AB、AC于F、G。求证:AF=AG。图2思路分析：可以通过等角对等边来证明此题，即证明∠AFE=∠AGF，将∠AFE、∠AGF分别看作△FBE与△DGC的外角，利用已知中D、E为、的中点可以证明角相等。证明：连结BE、CD,∠A