数学素材：第三章基本初等函数（Ⅰ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考与交流1．略2．注意(eq\r(n,a）)n和eq\r（n，an)(n＞1且n∈N＋)的区别．①（eq\r(n，a）)n中：当n为大于1的奇数时，eq\r（n，a）对任意的a∈R都有意义，它表示a在实数范围内有唯一的一个n次方根，即（eq\r（n,a））n＝a；当n是大于1的偶数时，eq\r（n，a)只有当a≥0时才有意义,a＜0时无意义，eq\r(n，a）（a≥0）表示a在实数范围内的一个n次方根，(eq\r(n，a））n＝a。②式子eq\r（n,an)对任意a∈R都有意义,当n为奇数时，eq\r(n，an)＝a;当n为偶数时,eq\r(n，an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a（a≥0）,,－a(a〈0)。）)3．幂的运算法则是①am·an＝am＋n；②am÷an＝am－n；③(am）n＝amn;④(ab）m＝am·bm.4．对数恒等式：.证明：设aN＝b，由对数的意义得logab＝N,两边取以a为底的指数得alogab＝aN＝b，所以。对数的运算法则．①loga（MN）＝logaM＋logaN(a＞0,a≠1，M＞0,N＞0）．证明：设logaM＝p，logaN＝q。由对数的定义可知:M＝ap,N＝aq，∴MN＝ap·aq＝ap＋q，∴loga（MN）＝logaap＋q＝p＋q＝logaM＋logaN.②logaeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（M,N）））＝logaM－logaN(a＞0，a≠1,M＞0,N＞0）．证明：设logaM＝p，logaN＝q.由对数的定义得M＝ap，N＝aq，∴eq\f（M，N）＝eq\f（ap，aq）＝ap－q.∴logaeq\f(M,N）＝logaap－q＝p－q＝logaM－logaN,③logaMn＝nlogaM(a＞0，a≠1，M＞0,n∈R)．证明:设logaM＝p，由对数定义知M＝ap,∴Mn＝(ap)n＝anp，∴logaMn＝logaanp＝np＝n·logaM。④logaeq\r(n,M）＝eq\f(1,n)logaM（a＞0，a≠1,M＞0，n∈R)．证明:设logaM＝p，由对数定义可得M＝ap，∴，∴logaeq\r(n,M)＝＝eq\f(p,n)＝eq\f（1,n)logaM。5．常用对数是以10为底的对数,自然对数是以e＝2。71828…为底的对数，换底公式为logab＝eq\f(logcb,logca）（a＞0，a≠1，b＞0，c＞0，c≠1)，作用略，合理即可．6．对数函数与指数函数性质对照表。7．略8．略9．略巩固与提高1．(1)4；（2）27；（3）(0,1)；(4）（1，0)；（5）(1，1）;(6)－2；（7);(8）0。7781;（9）｛x｜1＜x≤2｝;（10）2.2．解：（1）eq\r(5）×eq\r（3,25）×eq\r（6,25)＝.(2)log32×log25×log53＝eq\f(lg2，lg3）×eq\f（lg5，lg2)×eq\f（lg3，lg5）＝1。（3)log2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(log232－log2\f（3,4）＋log26）)＝log2(log2256）＝log28＝3.3．解：（1）有意义，需2x－1≠0，即x≠eq\f（1,2），即定义域为eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠\f(1,2）)）））.(2)y＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)））x)有意义，需1－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x≥0,所以定义域为［0,＋∞)．(3）函数y＝loga(2－x)(a＞0，且a≠1)有意义，需2－x＞0，所以定义域为(－∞，2）．（4）函数y＝loga(1＋x)2(a＞0，且a≠1)有意义，需1＋x≠0，所以定义域为｛x|x∈R，且x≠－1}．4．a(a＞0,a≠1）bN(N＞0）ab＝N底数指数幂logaN＝b底数对数真数评注：本题考查指数与对数的关系，它们互为反函数．5．解:函数f(x）＝log2（－x）与g(x）＝x＋1的图象如图所示．由图象可知f(x）＜g(x)的解为－1＜x＜0。6．证明：函数f(x)的定义域为R。又f(－x）＝eq\f(a－x－ax，2)＝－eq\f(ax－a－x,2)＝－f（x)，∴f(x)为奇函数．7．解：∵f（x)的定义域为［1，3]，又函数为f(lgx），∴1≤lgx≤3，即10≤x≤1000，则f（lgx）的定义域为[10，1000］．8．解:设这9年的平均增长率为x,则800。05＝60。24（1＋x)9，（1＋x）9＝eq\f（800.05,60。24）＝13。2810,两边取常用对数，得9lg（1＋x）＝lg13.2810,∴9lg（1＋x）≈1.1232,则lg(1＋x)＝0.1248,∴1＋x＝1.332907，则x＝0.332907≈33.3％。∴年平均增长率为33。3％。9．解：当A1＝100时,＝25eq\r（A1）＝250；当A2＝156.25时，R2＝25eq\r(A2）＝312.5；当A3＝169时，R3＝25eq\r(A3）＝325。∴R1＜R2＜R3。10．略11．略自测与评估1．(1）B（2)B解析：（1）∵eq\r（(lg8－1）2)＝1－lg8，故选B。(2)∵(a＞0且a≠1），∴logab＝eq\f(1,2),即2logab＝1。故选B。2．证明:(1)f(a)·f(b）＝3a·3b＝3a＋b＝f(a＋b）．(2)f（a)÷f(b）＝3a÷3b＝3a－b＝f（a－b)．3．解:函数f(x）的定义域为{x｜x∈R且x≠0}，f（－x)＝eq\f(（a－x＋1）(－x),a－x－1）＝eq\f（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,ax)＋1）)（－x)，\f(1,ax）－1)＝eq\f((1＋ax）（－x),1－ax）＝eq\f(（ax＋1)x,ax－1)＝f（x），所以f（x)为偶函数．4．解：(1）∵2＞1,且2m＜2n，∴m＜n。(2）∵0。2＜1且log0。2m＞log0.2n，∴m＜n。(3）∴am＜an(0＜a＜1)，∴m＞n。（4）∵logam＞logan（a＞1）,∴m＞n.5．解：由log2［log3(log4x）]＝0得log3(log4x）＝1，即log4x＝3，∴x＝43＝64；由log3［log4（log2y)］＝0得log4(log2y）＝1，即log2y＝4，∴y＝24＝16。∴x＋y＝64＋16＝80。6．解：∵f（lgx）的定义域为［0。1,100］，即0.1≤x≤100，∴－1≤lgx≤2，则f（x)的定义域为［－1，2］．由－1≤eq\f（x，2)≤2，得－2≤x≤4,∴feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x，2）））的定义域为［－