数学素材：第二讲二圆锥曲线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考:类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数方程①中参数φ的意义是什么？答：参数φ是点M所对应的圆的半径OA（或OB)的旋转角(称为点M的离心角）．探究：椭圆规是用来画椭圆的一种器械,它的构造如图所示．在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B,它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆．你能说明它的构造原理吗？(提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程．）答案：如图，以直尺AB的横槽所在直线为x轴,以纵槽为y轴建立直角坐标系，设M(x,y),可以用直尺AB和横槽所成的角为φ,则x＝AMcosφ＝acosφ,y＝BMsinφ＝bsinφ，所以点M的轨迹参数方程为(φ为参数),化为普通方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1.表示长半轴长、短半轴长分别为a，b的椭圆．思考：与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足eq\f（x2，25)＋eq\f（y2,16)＝1的前提下，求出z＝x－2y的最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？答：根据线性规划知识，可以将椭圆eq\f（x2，25）＋eq\f(y2,16）＝1看成可行域，将z＝x－2y视为目标函数，将其变形为y＝eq\f（x,2)－eq\f（z，2),如图所示．当直线y＝eq\f(x,2)－eq\f（z，2）与椭圆相切于点A时，截距最大，此时z取得最小值；当直线y＝eq\f（x,2)－eq\f(z，2）与椭圆相切于点B时，截距最小，此时z取得最大值．联立方程组消去x，得25y2＋16(2y＋z)2＝25×16，即89y2＋64yz＋16z2－25×16＝0，令Δ≥0，即可解得－eq\r(89)≤z≤eq\r(89)。与例1类似，本题也可以利用椭圆的参数方程求解：设椭圆上任一点M(5cosφ，4sinφ)，φ∈[0，2π)，则z＝5cosφ－8sinφ＝eq\r(89）sin（θ－φ)，其中tanθ＝eq\f(5,8)，由于－1≤sin(θ－φ)≤1,所以－eq\r(89）≤z≤eq\r(89)。所以，类似已知实数x，y满足eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的前提下，求出z＝Ax＋By＋C的最大值和最小值问题，都可以利用这两种方法求解．思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2＝2py(p＞0）的参数方程？答:根据抛物线的定义得出抛物线的参数方程的过程如下:如图,设点M（x，y)是抛物线x2＝2py（p＞0)上的任一点，点M到准线y＝－eq\f（p,2）的距离为t，则有y＝t－eq\f(p,2）。由于|MF｜＝t（t－p)2＋x2＝t2x＝±eq\r（2pt－p2）。所以，抛物线的参数方程为（t为参数）或(t为参数）．探究：在例3中,点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小,最小值是多少？答：本题是例3的变式由例3可得｜OA｜＝＝2p｜t1|，｜OB｜＝＝2p|t2｜。所以，△AOB的面积为S△AOB＝2p2|t1t2｜＝2p2＝2p2eq\r（(t1＋t2)2＋4）≥4p2。当且仅当t1＝－t2，即当点A、B关于x轴对称时，△AOB的面积最小，最小值为4p2。习题2。21．一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆,长轴长为15565km，短轴长为15443km.取椭圆中心为坐标原点,求卫星轨道的参数方程．解：a＝eq\f(15565,2）＝7782.5,b＝eq\f(15443,2）＝7721.5。∴参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝7782.5cosθ，,y＝7721。5sinθ)）（θ为参数）．2．已知椭圆eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1上任意一点M(除短轴端点外）与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P,Q两点，O为椭圆的中心．求证：｜OP|·｜OQ|为定值．证明：如图所示,设M（acosθ，bsinθ)，B1（0,－b)、B2(0，b)．直线MB1方程：y＋b＝eq\f(bsinθ＋b,acosθ)·x，令y＝0,则x＝eq\f(acosθ,sinθ＋1)，∴|OP｜＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（acosθ,sinθ＋1）））.直线MB2方程：y－b＝eq\f（bsinθ－b，acosθ）·x,令y＝0，则x＝eq\f（acosθ,1－sinθ），∴｜OQ|＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f(acosθ，1－sinθ）)）。∴|OP｜·｜OQ｜＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（a2cos2θ，1－sin2θ)）)＝a2。即|OP｜·|OQ|为定值．3．求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数．证明：设x2－y2＝a2是等轴双曲线，P（asecφ,atanφ)是双曲线上任一点，它到两渐近线y＝±x的距离分别为d1＝eq\f（｜asecφ－atanφ｜,\r（2）)，d2＝eq\f（|asecφ＋atanφ｜,\r(2)），∴d1·d2＝eq\f（｜a2sec2φ－a2tan2φ｜，2）＝eq\f(a2，2）是常数．4．已知A，B，C是抛物线y2＝2px上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB，AC分别与抛物线的轴交于D，E两点．求证：抛物线的顶点平分线段DE.证明：如图所示，设y2＝2px上三点分别如下：A（2pt12，2pt1），B(2pt22，2pt2)，C(2pt22,－2pt2)．直线AB方程:y－2pt1＝(x－2pt12），令y＝0，求得x1＝－2pt1t2。直线AC方程：y－2pt1＝（x－2pt12），令y＝0，求得x2＝2pt1t2。∴x1＋x2＝0，∴顶点O平分DE。5．经过抛物线y2＝2px（p＞0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数,求线段AB的中点M的轨迹的参数方程．解:设OA方程：y＝kx，则OB方程：y＝－eq\f(1,k)x。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2px)）求得Aeq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(\f(2p,k2)，\f(2p，k））)，同理得B(2pk2，－2pk)．∴AB中点M（x，y）的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a