5.1.1变化率问题课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章

一元函数的导数及其应用

5.1.1变化率问题数学人教A版

选择性必修

第二册微积分的创立与处理四类科学问题直接相关1求物体在任意时刻的速度与加速度2求曲线的切线3求函数的最大值与最小值4求长度、面积、体积和重心等

导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.导数的本质是什么？平均速度学问题1

跳水运动员的速度探究

在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系

如何描述运动员从起跳到入水过程中的快慢程度呢？平均速度

平均速度学问题1

如何求一段时间的平均速度呢？思考1如何计算跳水运动员在

这段时间里的平均速度？思考2如何计算跳水运动员在

这段时间里的平均速度？思考3计算跳水运动员在

这段时间里的平均速度瞬时速度学瞬时速度：物体在某一时刻的速度.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.

以

时的瞬时速度为例.问题2

如何求瞬时速度呢？当∆t<0时，在时间段[1十∆t,1]内当∆t>0时，在时间段[1,1十∆t]内∆t∆t-6.951-7.049-6.9951-7.0049-6.99951-7.00049-6.999951-7.000049-6.9999951-7.0000049

通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－7.瞬时速度学-7瞬时速度：2.火箭发射ts后，其高度(单位:m)为h(t)=0.9t2.求：(1)在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.课本P613.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=－4.9t2.求t=1s时小球的瞬时速度.课本P621.如何计算平均速度与瞬时速度?二者有什么关系?课堂小结平均速度的极限是瞬时速度(1)平均速度：(2)瞬时速度：2.本节课学习到了哪些思想方法?极限思想新知探究探究：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？问题2

抛物线的切线的斜率xyOf(x)＝x2112234P0

我们发现，当点P________________，割线P0P____________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．观察

如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?T无限趋近于一个确定的无限趋近于点P0时探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢？

抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．记点P的横坐标x=1+Δx，则点P的坐标即为

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割线P0P的斜率Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：∆x<0∆x>0∆x∆x观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当∆x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？发现：当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.xyO121234PP0T

事实上，由可以发现，当∆x在无限趋近于0时，

无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时，的极限”，记为无限逼近第64页例2.求