高职数学课件 6多元函数微分

第六章多元函数微分学6.1

多元函数的概念及偏导数的计算6.2高阶偏导数、全微分6.3多元复合函数的偏导数一、二元函数的定义先看下面的例子.图18-34例2示意图一般地，二元函数的定义如下.解对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成的部分平面或全部XOY坐标面（见图18-35）。图18-35区域示意若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图18-35(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的园内，这样的区域称为有界的，如图18-30(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.闭区域：连同边界在内的区域曲线叫闭区域.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.这是一个无界开区域。x+y=0例1求函数的定义域

解：与一元函数相类似，确定函数的两个要素：定义域，对应法则。对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.这是一个闭区域。的定义域例2求函数解：例3求的定义域．解所求定义域为一、偏导数

多元函数的偏导数在二元函数z=f(x,y)中,有两个自变量x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y=y0,而让x变化.则z成为一元函数z=f(x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.一、偏导数的定义阅读教材P105多元函数的偏导数定义：设函数z=

f(x,y)在点的某个邻域内有定义。固定，给x增量，相应的函数z有增量，称为z关于

x

的偏增量。如果极限

存在，就称其为函数f(x,y)在点处对

x

的偏导数，记作函数f

(x,y)在点处对y

的偏导数，记作1.由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导数,就是将y看作常数,将

f(x,y)看作一元函数来定义的.注因此,在实际计算时,求f'x

(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f'y

(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.2.f'x

(x0,y0)就是f'x

(x,y),在点(x0,y0)的值.算f'x

(x0,y0)可用3种方法.f'y

(x0,y0)f'y

(x,y)f'y

(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算f'x

(x,y),再算f'x

(x0,y0)f'y

(x,y),f'y

(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f‘x

(x,y0)

f'x

(x0,y0)f(x0,y),f'y

(x0,y),f'y

(x0,y0).例1.解:或f(x,2)=x2+6x+4,f'x(x,2)=2x+6,故f'x(1,2)=2+6=8.例2.解:例3.解:偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.比如,设u=f(x,y,z).它的求法,就是将y,z均看作常数来求即可.例4.解:是关于X.Y的轮换对称函数课堂练习：求下列函数的偏导数

试证

1解

2解：

由于它们还是x,y

的函数.因此,可继续讨论高阶偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数.类似,可得三阶,四阶,…,n

阶偏导数.例1.解:若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题:

是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?若z=f(x,y)的两个混合偏导数则定理11、求下列函数的课堂练习

2、2；2；0；0一般说来,算这个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式.该近似公式应满足(1)容易算.(2）有一定的精度.在实际中,常需计算当两个自变量都改变时,二元函数z=f(x,y)的改变量f(x0+

x,

y0+

y)–f(x0,

y0).一、全微分的概念多元函数的全微分类似一元函数的微分概念,引进记号和定义.记

z=f(x0+

x,

y0+

y)–f(x0,

y0).称为z=f(x,y)在点

(x0,

y0)的全增量.全微分的定义定义自然会提出以下问题.(1)若z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,微分式dz=A

x+B

y中系数A,B如何求,是否与z的偏导有关?

(2)在一元函数中,可微与可导是等价的.在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?可微的条件分别称为函数z=f(x,y)关于自变量x，y的偏微分。

证略。多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在解在(2,1)处的全微分：解全微分的定义可推广到三元及三元以上函数解所求全微分定理1：如果函数在点(x,y)有连续偏导数，函数z=f(u,v)

在对应点(u,v)有连续偏导数，则函数在点(x,y)有连续偏导数且复合函数的微分法一链式法则链式法则如图示若z=f(u,v,w)，都有连续偏导数，则有多个中间变量的情况，连锁法则