经济应用数学电子教案 3.5参数估计2

经济应用数学课题参数的区间估计（2学时）时间年月日教学目的要求1．理解区间估计的相关概念。2．掌握不同类型的区间估计的方法和步骤。重点理解区间估计的相关概念。难点掌握不同类型的区间估计。教学方法手段结合案例，讲授为主。主要内容时间分配参数的区间估计1.概念5分钟2.方法和步骤10钟二、正态总体均值的置信区间1.方差已知时10分钟例1-210分钟2.方差未知时10分钟例3-410分钟三、正态总体方差的区间10分钟例510分钟练习10分钟小结5分钟作业备注【主要内容】一、参数的区间估计1.置信区间定义1设及是由样本观测值确定的两个统计量，如果对于给定的概率，有则称随机区间为参数的双侧置信区间，称为置信度（或置信概率），称分别为双侧置信区间的置信下限和置信上限．这种估计未知参数的方法称为参数的区间估计．注意：置信区间的含义是在随机抽样中，若重复抽样多次，得到样本的多个样本值，对应于每个样本值都确定了一个置信区间，每个这样的区间可能包含或不包含的真值．例如,给定，重复抽样100次，则其中大约有95个区间包含的真值,大约有5个区间不包含的真值．2.求置信区间的步骤（1）选取未知参数的某个较优估计量；（2）围绕构造一个依赖于样本与参数的函数；（3）对给定的置信度，确定和，使通常可选取满足的与，在常用分布的情况下，可由附表查得；（4）对不等式作恒等变形后化为则就是的置信度为的双侧置信区间．二、单正态总体均值的置信区间1.正态总体方差已知，参数的置信区间设总体～，其中已知，为未知参数，是取自总体的一个样本．构造统计量，则～对于给定的置信度为，可查标准正态分布表求出使成立的临界值，由，得即因此，均值的置信度为的置信区间为．【例1】2020年一场突如其来的新冠肺炎疫情，使得国民经济受到了一定冲击，为了促进消费，恢复国民经济,现调查当地居民的平均消费额，随机访问了100名居民，得知平均消费额元．根据经验，已知居民消费服从正态分布，且标准差元，求该地居民平均消费额的置信度为95%的置信区间．解本题是正态总体的方差已知，对总体均值行区间估计，故选择统计量～对于给定，查表得．代入置信区间公式，则有.所以，该地居民平均消费额的置信度为95%的置信区间为．【例2】已知某药品中某成分的含量在正常情况下服从正态分布．现测定9个样本，其含量均值，试估计药品中这种成分含量的总体均值的置信区间（置信度=0.95）.解本题是正态总体的方差已知，对总体均值行区间估计，故选择统计量～当时，查表得．已知，代入置信区间公式，则有.所以，药品中该成分平均含量在置信度为时的置信区间为．2.正态总体方差未知，参数的区间估计设总体～其中未知，)是取自总体的样本．构造统计量，则～对于给定的置信度为，可查分布表求出使成立的临界值，由即因此，均值的置信度为的置信区间为．【例3】对某型号的飞机的飞行速度进行16次试验，测得最大飞行速度样本均值，样本方差.已知最大飞行速度服从正态分布，试对最大飞行速度的数学期望作置信度为0.95的区间估计.解本题是正态总体的方差未知，对总体均值行区间估计，故选择统计量～当时，查分布表得．已知，代入置信区间公式，则有.所以，最大飞行速度的均值的置信区间为．【例4】某地九月份的气温观察9天，得，求置信度为0.95的此地九月份平均气温的置信区间.解本题是正态总体的方差未知，对总体均值行区间估计，故选择统计量～当时，查分布表得.代入置信区间公式，则有.所以，该地九月份平均气温的置信区间为．三、总体方差的区间估计设总，其中未知，是取自总体的一个样本．构造统计量,则～对于给定的置信度，可查分布表得到双侧临界值，使得即因此，方差的置信度为的置信区间为，而标准差的置信度为的置信区间为．【例5】某厂生产的钢丝，设钢丝折断力服从正态分布，现随机抽取10根检查，样本均值，求钢丝折断力方差的置信区间.解本题是对正态总体方差进行区间估计，故选择统计量～当时，查分布表得，，.已知，代入置信区间公式，则有.所以，钢丝折断力方差的95%置信区间为．【课堂练习】1.从一批钉子中抽取16根，测得长度（单位：厘米）为：2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.设钉子长度服从正态分布，已知，求钉子平均长度的置信度为95%的置信区间．2.某工厂滚珠车间，从长期经验知道，滚珠直径服从正态分布.现从生产的滚珠中任取6个，测得直径为（单位：毫米）14.9,14.6,15.1,14.8,15.