541-542正弦函数余弦函数的图象与性质-2022-2023学年高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019）

5.4.2正弦函数、余弦函数的图象与正弦函数、余弦函数的性质【考点梳理】考点一正弦函数的图象1．正弦曲线的定义正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法：①利用单位圆上点T(x0，sinx0)画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．(2)五点法：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．考点二余弦函数的图象1．余弦曲线的定义余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．2．余弦函数图象的画法(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．考点三：周期性1．函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.考点四：正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．考点五：正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]单调性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)上单调递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1【题型归纳】题型一：正弦函数、余弦函数图象的认识1．（2022·湖南·高一）函数，的简图是（

）A．B．C．D2．（2022·全国·高一）不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一）函数的简图是（

）A．B．C．D．题型二：用“五点法”作简图4．（2021·全国·高一专题练习）用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点（

）A． B． C． D．5．（2022·湖南·高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图：(1)，；(2)，；(3)，．6．（2022·海南华侨中学高一期末）已知函数.(1)用“五点法”做出函数在上的简图；(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.题型三：正弦(余弦)函数图象的应用7．（2021·江西赣州·高一期末）设函数.（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)；（2）若，求的值.8．（2022·江西省万载中学高一）已知函数在上恰有三个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2020·广东广州·高一期末）已知函数的零点为，则所在的区间是（

）A． B． C． D．题型四：正弦三角函数的周期和奇偶性问题10．（2022·全国·高一专题练习）已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．11．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（

）A．

B．C． D．

12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，则（

）A． B． C． D．题型五：余弦三角函数的周期和奇偶性问题13．（2022·浙江·杭州四中高一期末）在区间上为减函数，且为奇函数的是（

）A． B．C． D．14．（2022·陕西汉中·高一期末）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（

）A． B． C． D．15．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．不是周期函数 B．是偶函数C．在区间上单调递减 D．的对称轴方程为题型六：求正弦、余弦函数的单调区间16．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）函数的单调减区间是（

）A． B．C． D．17．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（2022·山东山东·高一期中）已知定义在R上的函数满足，且当时，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．题型七：三角函数值的大小比较和解不等式19．（2022·陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（

）A． B．C． D．20．（2022·湖北武汉·高一期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．21．（2021·全国·高一专题练习）在内，不等式的解集是（

）A．(0，π) B． C． D．题型八：正弦、余弦函数的最值(值域)22．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数的最大值与最小值的和是（

）A． B．0 C． D．23．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（

）A．最小值为0B．函数为奇函数C．函数是周期为周期函数D．函数在区间上单调递减24．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域是（

）A． B． C． D．题型九：正弦、余弦函数的对称性25．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（

）A．3 B．4 C．2 D．126．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．27．（2021·河南·高一阶段练习）设函数的一条对称轴是，则（

）A．可能是偶函数 B．可能是奇函数C．的一个可能取值是 D．的一个对称中心可以是【双基达标】一、单选题28．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）函数与函数图像的交点个数是（

）个A．5 B．4 C．3 D．229．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．30．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（

）A． B．1 C．1或1 D．31．（2022·全国·高一课时练习）函数在上的增区间是（

）A． B．C． D．32．（2022·全国·高一）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．33．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知函数．(1)用五点法作图作出在的图像；(2)求在的最大值和最小值．34．（2022·全国·高一单元测试）设，函数的最小正周期为，且．(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；(3)若，求的取值范围．【高分突破】一、单选题35．（2022·全国·高一）已知，，则（

）A． B．C． D．36．（2022·全国·高一）函数的图象的一个对称轴方程是（

）A． B． C． D．37．（2022·全国·高一）的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．338．（2022·全国·高一）已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．39．（2022·全国·高一）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（

）A． B．C． D．40．（2022·四川达州·高一期末（理））三个实数，，的大小关系是（

）A． B．C． D．41．（2022·全国·高一课时练习）设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（

）A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为二、多选题42．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（

）A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点43．（2022·全国·高一课时练习）下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．44．（2022·全国·高一）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在上单调递增B．的图象的一条对称轴方程为C．的最小正周期为D．的最大值为45．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数，则下列结论中，正确的有（

）A．函数的图像关于轴对称B．的最小正周期为C．在上单调递增D．的值域为46．（2022·安徽·高一期中）对于函数有下述结论，其中正确的结论有（

）A．的定义域为B．是偶函数C．的最小正周期为D．在区间内单调递增三、填空题47．（2022·湖北黄石·高一期末）函数在上的单调递增区间为______．48．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．（注：不是常函数）①；②．49．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．50．（2022·全国·高一课时练习）若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．51．（2022·全国·高一课时练习）若存在实数a使得方程在上有两个不相等的实数根，则______．四、解答题52．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．(1)用“五点法”作法函数在上的简图；(2)根据图象求在上的解集．53．（2022·辽宁·建平县实验中学高一期中）已知如表为“五点法”绘制函数图像时的五个关键点的坐标（其中，，）：x0200(1)请写出函数的最小正周期和解析式；(2)求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的取值范围．54．（2022·陕西咸阳·高一期中）已知函数(1)作出函数的简图；(2)该函数是不是周期函数？如果是，求出它的最小正周期；(3)写出这个函数的单调递增区间.55．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知(1)函数（）在区间上恰有三条对称轴，求的取值范围．(2)函数，①当时，求函数(x)的零点；②当，恒有，求实数的取值范围．【答案详解】1．D【分析】根据给定函数探求时图象上对应点的位置及时函数图象位置即可判断作答.【详解】函数，，因时，，即原函数图象过原点，排除选项A，C；又当时，，则，即函数，的图象在x轴下方，排除选项B，选项D符合要求.故选：D2．B【分析】根据的图象与性质可得的解集．【详解】解：函数图象如下所示：，不等式的解集为：．故选：．3．D【解析】利用余弦函数的图象平移可得．【详解】把的图象向上平移1个单位即可.故选：D【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查学生数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题．4．A【解析】根据五点作图法即可选出答案.【详解】五点作图法在内的五个关键点为，可知不是关键点．故选：A.5．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）（2）（3）在坐标系中描出相应的五点，在用平滑的曲线连起来.(1)按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图(2)按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图(3)按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图6．(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据“五点法”作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；（2）将原问题转化为与在上有两个不同的交点，作出函数在的图象，由数形结合即可得到结果.(1)解：列表：x01131作图：(2)解：若方程在上有两个实根，则与在上有两个不同的交点，因为，所以作出函数在的图象，如下图所示：又，，，，由图象可得，或，故a的取值范围是.7．（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）先列表取出五点，再在直角坐标系中描点，然后连线即可完成；（2）由题可得，再由诱导公式可求得，即可得解.【详解】解：（1）列表如下：020202（2）解：由，得，由，得，由，得，则.【点睛】本题考查“五点法”画函数图像，考查已知三角函数值求三角函数值，解题的关键是正确进行角的拼凑，利用诱导公式求解.8．D【分析】根据题意，将原问题转化为函数在区间上恰有三个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，由正弦函数的性质可知，，所以，即的取值范围为.故选：D.9．B【分析】函数的零点等价于与的图像交点，作出两函数图像，数形结合判断所在的区间.【详解】，函数的零点等价于与的图像交点，作出两函数图像如图所示：由图知，两函数只有1个交点，且，即故选：B10．D【分析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解.【详解】因为函数为偶函数，所以，由，得，因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D11．C【分析】从周期来看，A、B选项排除；从单调性来看，C选项正确．【详解】对于A选项，由于的周期为，故A选项不正确；对于Ｂ选项，由于的周期为，故B选项不正确；对于C选项，由于的最小正周期为，在区间上，单调递增，故C选项正确；；对于D选项，由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故D选项不正确．故选：C．12．B【分析】根据正弦型函数的周期公式求，再由正弦函数的性质求.【详解】因为图象的两相邻对称轴之间的距离为，所以最小正周期，则，所以因为为偶函数，所以，，所以，.因为，所以.故选：B.13．B【分析】由题意，根据三角函数奇偶性与单调性，可得答案.【详解】由函数为奇函数，可得C，D错误；因为函数在上单调递增，且，，易知函数在上单调递减，故A错误，B正确.故选：B.14．B【分析】根据正弦函数、余弦函数的周期性、单调性判断．【详解】的最小正周期是，的最小正周期是，排除，BC两个函数的最小正周期是，时，单调递增，单调递减．故选：B．15．C【分析】根据题意确定出函数解析式，作出函数的图象，结合图象可得函数性质，判断各选项．【详解】由，解得：；由，解得：.所以.作出的图像如图所示：它是周期函数，最小正周期是，故A错误；其图象不关于轴对称，不是偶函数，故B错误；它在上递减，故C正确；对称轴方程是，故D错误．故选：C16．A【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.令，所以.故选：A.17．D【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.【详解】，由，，可得，根据正弦函数的单调性，可得：，又，所以，即.故选：D.18．D【分析】由诱导公式可得，，，根据已知有的周期为，利用周期性和的区间单调性判断函数值的大小关系.【详解】由题设，即的周期为，又，，，所以，，，又，而在上递减，所以.故选：D19．B【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可.【详解】，因为，在上为增函数，所以，所以，故选：B20．D【分析】根据正弦函数在上单调递增可判断大小关系.【详解】因为，函数在上单调递增，所以，即，所以.故选;D.21．C【解析】先作出正弦图象y＝sinx，，结合的根为或，即得不等式的解集.【详解】画出y＝sinx，的草图如下．内，令，解得或，结合图象可知不等式的解集为．故选：C．22．C【分析】令，则，，然后利用二次函数的性质可求得答案【详解】令，则，，，所以当时，有最大值，当时，有最小值，所以最大值与最小值的和是，故选：C23．D【分析】利用正弦函数的图像与性质依次判断4个选项即可.【详解】最小值为2，A错误；是偶函数，B错误；不是周期函数，C错误；在上单调递增，故在上单调递增，又因为它是偶函数，所以在区间上单调递减，D正确.故选：D.24．A【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.【详解】函数，因为，所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，故函数的值域为，故选：A．25．C【分析】根据正弦函数图象的对称性可得，由此可得答案.【详解】依题意得，所以，即，又，所以.故选：C.26．D【分析】先由解得，再由得到，令或，解出的取值范围即可.【详解】因为在内不存在对称中心，故，解得，又，，故，解得，又，所以，或，，故的取值范围为.故选：D.27．D【分析】利用余弦函数的性质判断.【详解】，既不为，也不为0，故排除AB；的一条对称轴是，则，解得，因为，故C错误；由，当时，，故D正确.故选：D28．A【分析】画出函数图象观察即可得出.【详解】画出和的函数图象，因为，，结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.故选：A.29．A【分析】在平面直角坐标系中作出在上的图象，运用数形结合的思想方法即可求解【详解】如图所示，不等式，的解集为故选：A30．B【分析】由函数为偶函数得到，求出的值，代入后用诱导公式即可得到结果.【详解】由函数得，，，其中，.故选：B.31．C【分析】首先利用诱导公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再结合正弦函数的性质令，求出的范围，即可得解；【详解】解：由题知，又，所以，令，解得，所以函数在上的增区间是．故选：C．32．C【分析】由，，可求得结果.【详解】由，，解得，．所以函数的单调递增区间是故选：C．33．(1)作图见解析(2)

；【分析】本题由课本29页，例2改编；利用五点法画出的图像，并利用图像研究性质．（1）列表如下：对应的图象如图：（2），由且结合图象知

34．(1)，(2)作图见解析(3)【分析】（1）利用最小正周期和解即可；（2）利用列表，描点画出图像即可；（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.（1）∵函数的最小正周期，∴．∵，且，∴．（2）由（1）知，列表如下：0010－10

在上的图像如图所示：（3）∵，即，∴，则，即．∴的取值范围是35．C【分析】由可知，为偶函数，则，易知在上为增函数，由，则可选出答案.【详解】因为，所以为偶函数，所以．因为在上且单调递增，且单调递增，所以在上为增函数，且，所以，故选：C．36．C【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选：C37．A【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.【详解】因为，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以的最小正周期为.故选：A.38．B【分析】依题意可得，再根据周期公式即可求出的大致范围，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；【详解】解：依题意，即，又，所以，解得，又，所以，所以，要使函数在内单调递减，所以，解得，即；故选：B39．C【分析】可得在内有解，令，利用二次函数的性质即可求出.【详解】方程在内有解，即在内有解，令，，则，所以，解得.故选：C.40．C【分析】根据正弦函数，余弦函数和对数函数的性质确定，，的范围，由此比较它们的大小.【详解】因为，，又函数，在单调递减，所以，，又函数在上单调递增，所以，所以，故选：C.41．D【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【详解】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，所以，则，所以，整理得，对于，，则不是函数的对称中心，故错误；对于，，则不是函数的对称中轴，故错误；对于，令，，解得，，，显然不包含区间，故错误；对于，，所以的最小正周期为，故正确．故选：D．42．AB【分析】作出函数函数，的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.【详解】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误．故选:AB．43．AC【分析】根据正弦在单调递增可判断A,根据在单调递减可判断B,根据诱导公式以及正余弦的单调性可判断C,D.【详解】对A,因为，在单调递增，所以,故A正确；对B，因为，在单调递减，所以,故B错误；对于C,，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC44．BD【分析】通过特例说明A不成立；通过说明B成立；通过说明C不成立；根据周期性求出的最大值即可，通过，结合换元法可判断D.【详解】因为，故A错误；因为，所以的图象的一条对称轴方程为，故B正确；因为，且不存在比小的正常数使得，所以的最小正周期为，故C错误；因为最小正周期为，所以只需研究上的最大值即可，当时，将平方可得，记，.令，，则，于是，显然在上单调递增，所以，所以，故D正确，故选：BD.45．ACD【分析】由三角函数的性质对选项逐一判断【详解】对于A，由题意得，所以是偶函数，故A正确，对于B，，的最小正周期为，故B错误，对于C，当时，此时，在上单调递增，故C正确，对于D，当时，，当时，，由周期性得，的值域为，故D正确，故选：ACD46．AB【分析】对于A，由，且求解判断；对于B，由函数的奇偶性定义判断；对于C，由周期函数的定义判断；对于D，根据，判断.【详解】对于A，因为，且，所以且，，A正确．对于B，因为，所以为偶函数，B正确．对于C，由知，是周期函数，但最小正周期不为，C不正确，对于D，因为，，所以在区间内不单调递增．故选：AB．47．【分析】首先根据题意得到，再求其单调减区间即可.【详解】函数，令，解得，令得