人教版九年级上册数学第二十三章测试题有答案

人教版九年级上册数学第二十三章测试卷一、单选题1．下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B．C．D．2．下列图形中，不是中心对称图形的是（

）A．平行四边形B．圆C．正八边形D．等边三角形3．点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（

）A．（2，1）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）4．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）5．已知点P关于x轴的对称点是P1，点P1关于原点O的对称点是P2，点P2的坐标为（3，4），则点P的坐标是（）A．(3,4)B．(-3,4)C．(3,-4)D．(-3,-4)6．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰梯形7．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若A点关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为()A．2－1 B．1＋ C．2＋ D．2＋18．如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A． B．3 C． D．29．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为（

）A．7B．27C．37D．47二、填空题10．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．11．一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转________度，才可与其自身重合．12．点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______．13．在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是________.14．已知A（2，0）、B（0，4），则线段AB的对称中心为________.15．将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP′重合，若BP=4，则PP′=_________16．如图，Rt△A'BC'是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A，B，C'在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，则Rt△ABC旋转到Rt△A'BC'所扫过的面积为________．17．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________

．18．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．20．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称​（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由（2）若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积．21．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长.22．阅读下列材料：（材料）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形我们就能证明勾股定理：.（请回答）如图是任意符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM=AN．24．问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）25．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．参考答案1．B【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A不是轴对称图形，是中心对称图形；B是轴对称图形，也是中心对称图形；C和D是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．D【解析】试题解析：A.平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.圆是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.正八边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.等边三角形不是中心对称图形，故本选项符合题意.故选D.3．B【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【详解】点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（-1，-2），故选B．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．4．D【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．【详解】根据中心对称的性质，可知：点A（1，2）关于原点O中心对称的点的坐标为（-1，-2）．故选D．【点睛】此题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．5．B【解析】【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得出点P的坐标．【详解】∵P2的坐标为（3，4），点P1关于原点O的对称点是P2，∴P1（-3，-4），又∵点P关于x轴的对称点是P1，∴P（-3，4）．故选B．【点睛】本题考查了关于原点及x轴对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数．6．B【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有矩形既是轴对称图形又是中心对称图形．故选B．7．A【详解】设点C所对应的实数是．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解．数轴上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．设点C所对应的实数是．则有x=故选A．8．B【分析】把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP′，然后求出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出P′A，从而得解．【详解】如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′（点C的对应点C′与点A重合），所以，AP′=PC，BP′=BP=1，所以，△PBP′是等腰直角三角形，所以，∠P′PB=45°，PP′=，∵∠APB=135°，∴∠APP′=∠APB-∠P′PB=135°-45°=90°，在Rt△APP′中，AP′=，∴PC=AP′=3，故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．9．C【解析】试题解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，∴△ADE为等边三角形，∴DE=AD=5，过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，在Rt△DHE中，EH2=52-x2，在Rt△CHE中，EH2=62-（4-x）2，∴52-x2=62-（4-x）2，解得x=58∴EH=52在Rt△EDH中，tan∠HDE=EHDH即∠CDE的正切值为37．故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．10．【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案．【详解】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，故答案为70°∘．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键.11．180【分析】根据平行四边形是中心对称图形即可求解．【详解】平行四边形是中心对称图形，绕对角线的交点旋转180度能与原图形重合．故答案是：180．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形．12．（2，﹣1）．【详解】点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1），故答案为（2，﹣1）．13．（5，-3）【详解】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是（5，-3），故答案为（5，-3）.14．（1，2）【解析】设线段AB的中点为点C，则点C是线段AB的对称中心，∴点C的坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．15．【详解】试题分析：观察图形可知，旋转中心为点B，A点的对应点为C，P点的对应点为P′，故旋转角∠PBA′=∠ABC=90°，根据旋转性质可知BP=BP′，可根据勾股定理求PP′解：由旋转的性质可知，旋转角∠PBP′=∠ABC=90°，BP=BP′=4，∴在Rt△BPP′中，由勾股定理得，PP′==4．故答案是：4．点评：本题考查了旋转性质的运用，根据旋转角判断三角形的形状，根据旋转的对应边相等及勾股定理求边长．16．π+2【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=2，再利用三角函数得到∠ABC=60°，接着根据旋转的性质得到∠A′B′C′=∠ABC=60°，△ABC≌△A′B′C′，所以∠ABA′=120°，然后根据扇形面积公式，利用Rt△ABC旋转到Rt△A'BC'所扫过的面积=S扇形ABA′+S△A′B′C′进行计算即可．【详解】∵∠C=90°，BC=2，AB=4，∴AC==2，∵tan∠ABC==，∴∠ABC=60°，∵Rt△A'BC'是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A，B，C'在同一条直线上，∴∠A′B′C′=∠ABC=60°，△ABC≌△A′B′C′，∴∠ABA′=120°，∴Rt△ABC旋转到Rt△A'BC'所扫过的面积=S扇形ABA′+S△A′B′C′=．故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17．4【详解】试题分析：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，又∵点B和点B′关于点A对称，∴BB′=2AB=4．故答案为4．考点：中心对称的性质．18．①②③【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，

∵△DHG是由△DBC旋转得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，

在RT△ADE和RT△GDE中，

，

∴△AED≌△GED，故①正确，

∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，

∴∠AED=∠AFE=67.5°，

∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，

∴AE=EG=GF=FA，

∴四边形AEGF是菱形，故②正确，

∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．

∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，

∴BE＞AE，

∴AE＜，

∴CB+FG＜1.5，故④错误．

故选B.19．(1)（2，2），（3，﹣2）；(2)（3，﹣5），（2，﹣1），（1，﹣3）；(3)（5，3），（1，2），（3，1）.【解析】试题分析：（1）利用点C和点的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点，的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出，然后写出的各顶点的坐标．试题解析：（1）如图，即为所求，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，所以点的坐标为（2，2），点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和关于原点O成中心对称图形，所以（3，﹣5），（2，﹣1），（1，﹣3）；（3）如图，即为所求，（5，3），（1，2），（3，1）.考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化——平移．20．（1）是菱形，（2）4.【解析】【分析】（1）根据菱形的判定以及中心对称图形的性质得出即可；（2）利用中心对称图形的性质得出四边形BDEG的面积=2×矩形ABCD面积，即可得出答案．【详解】（1）是菱形，∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，∴AD=AG，AB=AE，BE⊥DG，∴四边形BDEG是菱形（2）∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，∴AD=AG，AB=AE，BE⊥DG，∴四边形BDEG的面积=2×矩形ABCD面积=2×2=4．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和中心对称的性质，利用中心对称的性质得出是解题关键．21．12π【详解】试题分析：点O所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出结果.试题解析：点O所经过的路线长==12π．22．详见解析.【分析】根据△ABC和Rt△ACD的面积之和=Rt△ABD和△BCD的面积之和求解即可.【详解】此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和，所以：即：整理：所以：【点睛】根据所给图形，找到相应的等量关系是解决本题的关键．23．证明见解析【详解】证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC．∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C．∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C．∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA．∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA．又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB（ASA）．∴AM=AN．根据旋转的性质可得△AEB≌△ADC，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB≌△ANB，根据全等三角形对应边相等即可得证．24．见解析【详解】试题分析:(1)初步探究:如图②,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=a,进而由三角形的面积公式得出结论,(2)简单运用:如图③,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,由等腰三角形的性质可以得出BF=BC,由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE,由三角形的面积公式就可以得出结论.试题解析:(1)△BCD的面积为,理由:如图②,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,∴∠BED=∠ACB=90°,∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,∴AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°,∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE,在△ABC和△BDE中,,∴△ABC≌△BDE（AAS）,∴BC=DE=a,∵S△BCD=∴S△BCD=,(2)简单应用:如图③,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,∴∠AFB=∠E=90°,BF=,∴∠FAB+∠ABF=90°,∵∠ABD=90°,∴∠ABF+∠DBE=90°,∴∠FAB=∠EBD,∵线段BD是由线段AB旋转得到的,∴AB=BD,在△AFB和△BED中,,∴△AFB≌△BED（AAS）,∴BF=DE=,∵S△BCD=,∴S△BCD=,∴△BCD的面积为,25．（1）①补图见解析；②证明见解析；③CM=．（2）1.【解析】【分析】（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC