对数与对数运算教案三课时

2.2.1对数与对数运算（三课时）教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．4．对数的初步应用.教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导第一课时对数的概念教学过程：、自学引导让学生自学课本62、63页，并完成以下练习一般地，若，那么数叫做以a为底N的______记作，叫做对数的_____，N叫做______.称为_______，称为________.________________________________.指数式化为对数式：（二）、教师精讲（1）（说一说）对数的文化意义对数发明是17世纪数学史上的重大事件，为什么呢？大家一起来看一下投影：恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。对数的发明让天文学家欣喜若狂，这是为什么？我们将会发现，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数，简化数的运算。这些都非常有趣。那么，什么是对数？对数真的有用吗？对数如何发现？我们带着这些问题，一起来探究对数。（对数的导入）为了研究对数，我们先来研究下面这个问题：（P62思考）根据上一节的例8我们能从中，算出任意一个年头x的人口总数，那么哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？（停顿让学生思考）即：在个式子中，分别等于多少？（2）（讲一讲）对数概念在这三个式子中，都是已知（停顿）底数和幂，求指数x。如何求指数x？这是本节课要解决的问题。这一问题也就是：数学家欧拉用对数来表示x，如何表示？一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作，叫做对数的底数，N叫做真数.称为指数式，称为对数式我们可以由指数式得到对数式，也可以由对数式得到指数式：不难得到，的x用对数表示就是我们要注意到，中的。因此，也要求；还有中的真数N能取什么样的数呢？这是为什么？这是因为，所以。因此，中真数N也要求大于零，即负数与零一定没有对数。（3）（做一做）指数式与对数式间的关系例1指数式化为对数式：让学生大胆猜测，由，可以发现什么结果？由呢？为什么？立即得到上式结论。我们还会注意到，，，利用对数可以将很大很大的数变为较小的数，减少计算量，以后还会发现，乘除运算便会加减运算，简化运算.（4）（讲一讲）例题讲解例2将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625(2)(3)(4)(5)(6)（做一做）练习：把下列指数式写成对数式：把下列对数式写成指数式：（5）（讲一讲）两种特殊的对数：常用对数自然对数教师：对数的底a有何限制?（停顿），我们得到对数。称为常用对数。通常写成.当时，得到对数，称为自然对数。通常写成（做一做）练习：把下列对（指）数式写成指（对）数式：（2）（6）（讲一讲，练一练）求值例3求下列各式中x的值：我们可以发现，求对数的值可以将式子化为指数式，求指数时将指数式化为对数，在转化中解决问题（做一做）练习：求下列各式的值：求下列各式的值（7）评价与小结1.对数定义（关键）2.指数式与对数式互换（重点）3.求值（重点）（8）作业：P86题1，2；课外阅读：P79对数的发明、教学反思第二课时对数的运算教学目标（1）理解对数的运算性质．（2）通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．教学重点：对数运算性质及其推导过程.教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.教学过程（一）复习巩固，引入新课：（1）对数的定义，掌握其中a与N的取值范围；（2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式；（3）指数运算法则（积、商、幂、方根）。设计意图：对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．2、请同学判断以下几组数是否相等？（1），；（2），；提出问题：由（1）（2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般，寻求规律。（二）新课讲解：请同学们交流讨论得出结论，当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数。那么这个结论是否正确呢？接下来我们具体的来证明我们的这一结论：设计意图：让学生让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．如果a>0，a1，M>0，N>0，证明：引导学生进行转化，把不熟悉的知识向熟悉的知识转化。利用指数和对数的关系：证明：（性质1）设，，引导学生进行转化，把不熟悉的知识向熟悉的知识转化。利用指数和对数的关系：由对数的定义可得，，∴，∴，即证得．结论总结：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么事实上，除了上面的这个运算性质之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了两个性质：（2）；商的对数=对数的差（3）．一个数次方的对数=这个数对数的倍那么，请同学们结合前面的性质（1）的证明以及以前的所学知识，对我们所给出的性质（2）（3）进行证明。3分钟后同桌交换，看相互之间的证明，交换心得，并进一步讨论，是否能够找到更多的证明方法。设计意图：1、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深的理解对数的概念；2、寻求多种方法，发散学生思维性质2．方法一：（仿照性质（1）同理可证）方法二：由性质（1）的结论出发：方法三：由性质（1）的结论出发：这法二和法三证法使用拆分技巧，化减为加（化除为乘），会常用到。（性质3）设，由对数的定义可得，∴，∴，即证得．∴，即证得通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质如果且，，那么（1）；积的对数=对数的和（2）；商的对数=对数的差（3）．一个数次方的对数=这个数对数的倍说明：（1）语言表达：“积的对数=对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如；（3）注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数；例如：是不成立的，是不成立的；（4）当心记忆错误：，试举反例，，试举反例。性质（1）可以进行推广：即loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.设计意图：加深学生对知识的理解，注意到一些细节问题，避免出现公式的错误应用。（三）．典型例题：例1、计算（1）（2）答案：（1）9（2）设计意图：让学生熟悉三个运算性质例2．计算：lg1421g；解：（1）解法一：；解法二：=；设计意图：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。．课堂练习：P.68练习2，3其中第3题同桌分工，一个顺向作，一个逆向作，最后核对答案是否一致。．小结：1、本节课学习了对数的运算性质及其运用，要注意指数运算性质与对数运算性质的对照。式子名称——幂的底数——幂的指数——幂值——对数的底数——以a为底的N的对数——真数运算性质·（，且，）；；．（，且，，）2．对数的运算法则（积、商、幂、方根的对数）及其成立的前提条件；3．运算法则的逆用，应引起足够的重视；4．对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧。（六）作业：课本74页习题2.2组第三、四题。第三课时换底公式对数换底公式推导（教材第66页“探究性问题”）（二）、解决课本第68页练习第4题和第75页第11题。（三）补充公式：。