专题04 圆（7大基础题+4大提升题）（解析版）-2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编

专题04圆垂径定理1．（2023秋•绥阳县期中）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）A．4 B．5 C．7 D．9【分析】过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，根据垂径定理及勾股定理求出OP＝6，根据两点间的距离推出OM可取6，7，8，9，据此即可得解．【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，∵弦AB＝16，∴AP＝AB＝8，∵OA＝10，∴OP＝＝6，∴OM的最短距离为OP，最长距离为OA，∵点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，∴6≤OM＜10，∵OM的长为整数，∴OM可取6，7，8，9，即这样的点M有7个，故选：C．2．（2023秋•黔南州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为（）A．3 B．6 C．8 D．9【分析】连接OC，利用勾股定理求出OE，可得结论．【解答】解：连接OC．∵AB⊥CD，∴CE＝ED＝CD＝4，∴OE＝＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8，故选：C．3．（2023秋•凯里市校级月考）如图，CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，连接AC，BC，AD，BD，则下列结论不一定的是（）A．AE＝BE B．CE＝OE C．AC＝BC D．AD＝BD【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，∴AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD，∴AC＝BC，AD＝BD，而CE＝OE不一定成立，故选：B．4．（2023•遵义三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC＝6，则r的值是（）A． B． C． D．【分析】设OA交BC于点D，如图，根据线段垂直平分线的性质得到OD＝r，根据垂径定理得到BD＝3，则利用勾股定理得到（r）2+32＝r2，然后解方程即可．【解答】解：设OA交BC于点D，如图，∵BC垂直平分OA，∴OD＝r，BD＝CD＝BC＝3，在Rt△OBD中，（r）2+32＝r2，解得r1＝2，r2＝﹣2（舍去），即r的值为2．故选：C．5．（2023•仁怀市模拟）如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB＝8cm，CD＝6cm，则OD＝（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】连接OA，设OA＝r（cm），根据CD的长计算出OD的长，根据点D为弦AB的中点，O为圆心得到OD⊥AB，从而求出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值，即可求出OD的长．【解答】解：连接OA，设OA＝r（cm），则OC＝OA＝r（cm），∵点D为弦AB的中点，O为圆心，∴OD⊥AB，∵AB＝8（cm），∴AD＝BD＝4（cm），∵CD＝6（cm），∴OD＝CD﹣OC＝（6﹣r）（cm），在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（6﹣r）2+42，解得，∴（cm），故选：B．圆周角定理1．（2023秋•绥阳县期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝35°，则∠BOC的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：C．2．（2023秋•盘州市期中）如图，在⊙O中，半径OA垂直弦BC于点D．若∠ACB＝33°，则∠OBC的大小为（）A．24° B．33° C．34° D．66°【分析】根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝66°，然后根据互余计算∠OBC的大小．【解答】解：∵OA⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠ACB＝33°，∴∠AOB＝2∠ACB＝66°，∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝24°．故选：A．3．（2023秋•红花岗区期中）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，AC＝1，则AB的长为（）A． B．2 C． D．3【分析】由AB是⊙O的直径可得∠C＝90°，由∠B＝30°可得AB＝2AC＝2．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2．故选：B．圆的内接四边形1．（2023秋•盘州市期中）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是105°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣105°＝75°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠DAB＝105°．故答案为：105°2．（2023秋•关岭县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝110°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．70° C．110° D．140°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故选：D．3．（2024•息烽县一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到点E，则∠A与∠DCE的数量关系一定成立的是（）A．∠A＝∠DCE B．∠A+∠DCE＝180° C．∠A+∠DCE＝90° D．∠A＞∠DCE【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”及邻补角定义求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，故选：A．4．（2024•金沙县一模）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（）A．160° B．135° C．80° D．40°【分析】根据圆内接四边形的性质证得∠DCE＝∠A，在根据圆周角定理求出∠BOD即可．【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DCE＝80°，∴∠A＝80°，∴∠BOD＝160°．故选：A．三角形的外接圆与外心1．（2023秋•绥阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（）A．点M在⊙C外 B．点M在⊙C上 C．点M在⊙C内 D．不能确定【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再由直角三角形的性质得出OM的长，再与⊙C的半径相比较即可．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝＝．∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝＞1，∴点M在⊙C外．故选：A．2．（2023秋•遵义期末）如图，⊙O是△PAB的外接圆，OC⊥AB，连接OB．若∠BOC＝50°，则∠APB的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到＝，则利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC，从而得到∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠AOB＝2∠BOC＝2×50°＝100°，∴∠APB＝∠AOB＝50°．故选：B．3．（2024•遵义二模）如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC，若∠1＝40°，则∠BAC的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．50°【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结果．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠1＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAC＝BOC＝50°，故选：D．4．（2023•钟山区一模）如图，△ABC和△BCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E．若AB∥CD，∠A＝43°，则∠BEC的度数为86°．【分析】根据圆周角定理和平行线的性质以及三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝43°，∴∠D＝∠A＝43°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠D＝43°，∴∠BEC＝∠A+∠ABD＝86°，故答案为：86°．5．（2023秋•黔东南州期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC，若OE＝3，求GC的长．【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；（2）根据垂径定理得出点E为BC的中点，根据点O是BG的中点，得出，即可求出结果．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：根据题意，如图所示：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴∵OE＝3，∴CG＝6．切线的性质1．（2023秋•红花岗区期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，连接BD，若∠CBD＝28°，则∠A的度数为（）A．62° B．30° C．28° D．14°【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠ADB＝90°，∵∠CBD＝28°，∴∠ABD＝90°﹣28°＝62°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣62°＝28°，故选：C．2．（2023秋•关岭县期末）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D、C、B在一条直线上，且DC＝2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则∠EAC的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．50°【分析】设半圆的圆心为O，连接OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC＝∠ABC＝60°，又由AE是切线，证明Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案．【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OA，∵CD＝2OC＝2BC，∴OC＝BC，∵∠ACB＝90°，即AC⊥OB，∴OA＝BA，∴∠AOC＝∠ABC，∵∠BAC＝30°，∴∠AOC＝∠ABC＝60°，∵AE是切线，∴∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠ACO＝90°，在Rt△AOE和Rt△AOC中，，∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），∴∠AOE＝∠AOC＝60°，∴∠CAE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOE﹣∠AOC＝60°．故选：A．3．（2023秋•凯里市校级月考）如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（）A． B． C． D．【分析】连接OB、DB，由AD是⊙O的直径，得∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4，由切线的性质得∠OBC＝90°，而∠C＝30°，则∠BOC＝60°，所以△BOD是等边三角形，则BD＝OD＝2，所以AB＝＝2，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OB、DB，则OB＝OD＝2，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，AD＝2OD＝4，∵BC与⊙O相切于点B，∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝2，∴AB＝＝＝2，故选：C．4．（2023秋•黔南州期末）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（）A． B．2 C． D．3【分析】先判断出PA＝PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论．【解答】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝AP＝2．故选：B．正多边形与圆1．（2024•黔南州一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点A，B重合），则∠CPE的度数为（）A．45° B．55° C．60° D．65°【分析】根据正六边形和圆的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接OE，OD，OC，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∴∠COE＝60°×2＝120°，∴∠CPE＝∠COE＝60°，故答案为：C．2．（2024•榕江县校级二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（）A．45° B．38° C．36° D．30°【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣108°）＝36°．故选：C．3．（2024•榕江县校级二模）如图，正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，F，连接OF，CO，则∠COF的度数是（）A．120° B．144° C．150° D．160°【分析】根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，F，∴∠OFE＝90°＝∠OCD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠D＝∠E＝＝120°，在五边形OCDEF中，∠COF＝（5﹣2）×180°﹣90°×2﹣120°×2＝120°，故选：A．4．（2024•仁怀市模拟）如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．弧长与扇形的面积计算1．（2022•云岩区一模）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（）A．300πmm B．60πmm C．40πmm D．20πmm【分析】根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．【解答】解：的长为＝20π（mm）．故选：D．2．（2024•从江县校级二模）将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（）A． B． C． D．π【分析】利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公式计算．【解答】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为360°×××＝45°，所以虚线①所对的圆弧长＝＝．故选：A．3．（2024•贵州）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（）A．30π B．25π C．20π D．10π【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题．【解答】解：因为∠AOB＝150°，OA＝24，所以的长为：．故选：C．4．（2023秋•红花岗区校级期中）若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（）A．120πcm2 B．240πcm2 C．360πcm2 D．60πcm2【分析】根据扇形的面积公式，计算即可．【解答】解：该扇形的面积为：（cm2）．故选：A．5．（2023秋•关岭县期末）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘也会让美食锦上添花，如图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，OC＝OD＝3cm，圆心角为60°，则图②中摆盘的面积是（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2【分析】根据S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可．【解答】解：∵AC＝BD＝10cm，OC＝OD＝3cm，∴OA＝OB＝13cm，∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝（cm2），故选：C．6．（2023秋•七星关区期末）一个扇形的面积是3πcm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是3cm．【分析】设此扇形的半径为rcm，利用扇形的面积公式得到＝3π，然后解关于r的方程即可．【解答】解：设此扇形的半径为rcm，根据题意得＝3π，解得r＝3．即此扇形的半径为3cm．故答案为3．7．（2023秋•毕节市校级期末）如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为30°，若AC＝2，OC＝6，则阴影部分的面积为．【分析】由扇形面积公式求出扇形AOB与扇形COD的面积，即可得到阴影的面积．【解答】解：∵OA＝OC+CA＝6+2＝8，∠O＝30°，∴扇形AOB的面积＝＝，扇形COD的面积＝＝3π，∴阴影的面积＝扇形AOB的面积﹣扇形COD的面积＝﹣3π＝，故答案为：．垂径定理的应用1．（2023秋•红花岗区期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．2．（2023•遵义模拟）为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为10cm．【分析】设圆心为O，连接AB，作OE⊥AB于F，连接OA，用勾股定理求出OA的长，进而得出其直径的长．【解答】解：如图，连接AB，作OE⊥AB于F，连接OA，则OA2＝OF2+AF2，∴OA2＝（OA﹣2）2+42，解之得OA＝5，∴直径＝5×2＝10（cm）．故答案为：10cm．3．（2023秋•绥阳县期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝24m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）．【分析】设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD，设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝24，CD＝5，∴BD＝AB＝12，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+122＝R2，解得R＝16.9≈17，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m．涉及圆周角定理的证明与计算1．（2023秋•红花岗区期中）如图，在△ABC中，CB与⊙O相交于D，CA与⊙O相交于E．（1）从下面①②③中选取两个作为已知条件，另一个作为结论，并证明；①AB是直径；②AC＝AB；③DC＝DB．（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AB＝5，连接BE，求BE的长．【分析】（1）①②为条件，③为结论，连接AD，由AC＝AB可得△ABC是等腰三角形，由AB是直径可得AD⊥BC，根据三线合一即可解答．（2）先根据勾股定理求出AD，再利用等面积即可求出BE．【解答】解：（1）①②为条件，③为结论，连接AD，如图：∵AC＝AB，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴AD⊥BC，∴DC＝BD；（2）连接BE，∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝4，∴S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BE，即×6×4＝×5×BE，解得BE＝．2．（2023秋•关岭县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．（Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求∠AGF的度数；（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（I）根据AB为⊙O的直径，D为的中点，C为的中点，可得出∠BAC＝30°，再由DE⊥AB可知∠AEG＝90°，进而可得出结论；（II）连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（I）∵AB为⊙O的直径，D为的中点，C为的中点，∴＝＝，∴∠BAC＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AEG＝90°，∴∠AGF＝90°﹣30°＝60°；（II）如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝7.5，∴⊙O的半径是7.5．在圆中求线段的最小值1．（2023秋•红花岗区期中）在矩形ABCD中，AB＝2，，点E，F分别是边AD和BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为点G，连接CG，则CG的最小值为﹣1．【分析】连接BD，取OC中点M，连接MC，MG，过点M作MH⊥BC于H，则MC，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【解答】解：连接BD，交EF于O，∵AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，∵AE＝CF，∴ED＝BF，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OD＝OB，∴O是矩形形的中心，∵AB＝2，AD＝，∴BD＝＝4，∴OB＝2，取OB中点M，连接MC，MG，过点M作MH⊥BC于H，则MH∥CD，∵MB＝BD，∴，∴BH＝BC＝，MH＝CD＝，∴CH＝2﹣＝，由勾股定理可得MC＝＝，在Rt△GOB中，M是OB的中点，则MG＝＝1，∵CG≥CM﹣MG＝﹣1，当C，M，G三点共线时，CG最小值为﹣1，故答案为：﹣1．2．（2023秋•关岭县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝24，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为16．【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．【解答】解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，∵AC＝20，∴QC＝QE＝10，当点Q、E、B共线时BE最小，∵BC＝24，∴QB＝＝26，∴BE＝QB﹣QE＝16，∴BE的最小值为16，故答案为：16．3．（2023秋•黔东南州期末）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是．【分析】连接BD，取BD的中点O，连接ON，可知ON为△DMB的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形ABCD中，根据进而得出答案．【解答】解：连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC，∵N为MD的中点，∴ON为△DMB的中位线，∴，∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形ABCD中，，∴CN的取值范围为，即，故答案为：．切线的判定与性质1．（2023秋•灵宝市期中）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O切线；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE＝90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD＝6，∴DF＝FC＝3．在Rt△OFD中，OF＝AE＝4，∴OD＝＝＝5，在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2，∴AD＝，∴AD的长是．2．（2023秋•红花岗区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．【分析】（1）连接AE，OE，根据已知条件得到∠CAE＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到∠EAO＝AEO，根据平行线的性质得到∠OEB＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据总体上进行的性质得到AC＝，OB＝2OE，求得OD＝BE，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AE，OE，∵，∴∠CAE＝∠DAE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE