浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 含解析

2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高一年级数学学科试题命题：临平中学林威、朱华峰审校：淳安中学徐光合审核：永嘉中学徐益洁校稿：吕金晶考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.0,+∞【答案】D【解析】【分析】根据已知可得集合，根据并集的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：.2.下列函数在定义域上为减函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对于，由单调性的定义即可判断；对于，画出函数图象即可判断；对于，由函数图象的变换即可判断；对于，由复合函数的单调性即可判断.【详解】对于，函数的定义域为，，，，所以不是减函数，故不正确；对于，，函数图象如下：所以函数不是减函数，故不正确；对于，的定义域为，因为是增函数，所以是减函数，所以是减函数，故正确；对于，函数定义域为1,+∞，令，因为是增函数，是增函数，所以在1,+∞上是增函数，故不正确.故选：.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，然后根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】解不等式得，所以成立能推出，当时不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：.4.已知幂函数为偶函数，则（）A或2 B.2C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】因为幂函数为偶函数，所以且为偶数，所以.故选：.5.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数n”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（）A.20倍 B.倍 C.100倍 D.1000倍【答案】D【解析】【分析】根据已知可得，分别计算当时和时的值，即可求解.【详解】因为，所以，当时，，当时，，所以，即“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的倍.故选：.6.已知函数若当时，，则的最大值是（）A.4 B.3 C.7 D.5【答案】C【解析】【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题.【详解】根据题意，作出y=f(x)图象如下所示：数形结合可知，要使y=f(x)的值域为，且取得最大值，则只需，即可，故的最大值为.故选：C.7.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶函数的定义列式，消去得到的解析式，即可求解.【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，所以，即，因为是奇函数，所以，即，所以，所以.故选：.8.已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果.【详解】∵在上为增函数，在上为减函数，∴在为增函数，∴函数在区间上的值域为，∴，整理得，∴为方程的两根，即有两个不相等的正实数根，∴Δ=k2−4(k−1)>0k∴实数的取值范围是.故选：C.点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：（1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为.（2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.命题“，”否定是“，”B.与是同一个函数C.函数的值域为D.若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】ACD【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法求出的函数值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D.【详解】A.命题“，”的否定是“，”，选项A正确.B.定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，选项B错误.C.令，则，函数可变形为，对称轴为直线，函数在上为增函数.当时，，故函数的值域为，选项C正确.D.由函数的定义域为得，，故函数的定义域为，选项D正确.故选：ACD.10.若，，且，下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】AB【解析】【分析】根据基本不等式及其取等条件分别判断各选项.【详解】A选项：由，且，即，，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，A选项正确；B选项：，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，B选项正确；C选项：由，则，所以，即，，无最大值，C选项错误；D选项：由，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，又与已知矛盾，所以无最小值，D选项错误；故选：AB.11.已知函数，的定义域都为R，，且为偶函数，，对于都有，则（）A.函数的图象关于对称B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，推理论证出函数的周期及函数，图像的对称性，对各选项逐一判断即可.【详解】对于A：，即，∴是奇函数，关于原点对称，∴y=gx关于原点对称，故A不正确；对于B：∵为偶函数，∴，令，则，故B正确；对于C：由得，所以，故C正确；对于D：∵，∴，∵对于都有，∴，，∴，，，所以，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.________.【答案】7【解析】【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质计算可得结果．【详解】.故答案为：7.13.已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数性质可得，即可求解，进而根据取整函数的定义求解.【详解】由于，且，故，因此，则，故，因此值域为，故答案为：14.已知函数，当时恒成立，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解.【详解】设，，则，且在单调递增，当时，；当时，；因为当时恒成立，所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以.令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，，所以，且，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，（1）当时，求集合A；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）分别讨论当，，时，写出集合A，列出满足的条件并求解即可.【小问1详解】当时，不等式的解集为，所以集合.【小问2详解】由得，①当时，，满足题意，所以；②当时，，要满足只要，解得；③当时，，满足，故；综上，的取值范围为.16.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）若，，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式.（2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果.【小问1详解】∵是定义在上的奇函数，∴.∵时，fx=∴当时，，∴.【小问2详解】由题意得，.令，问题等价于求，的值域∵函数图象开口向上，对称轴为直线，∴在0,1上单调递减，在上单调递增，∵，，，∴，，∴函数的值域为.17.经市场调查，某商品在过去30天的日销售量（件）与日销售价格（元/件）都是时间t（天）的函数，其中（）.，每件商品的综合成本为10元.（1）写出该店日销售利润W与时间t之间的函数关系；（2）求该店日销售利润W的最大值.（注：销售利润＝销售收入－销售成本）【答案】（1）W（2）315元【解析】【分析】（1）利用销售利润等于单件利润乘以销售量可得结果.（2）分别计算和时日销售利润的最大值，比较后可得日销售利润W的最大值.【小问1详解】【小问2详解】当时，，当时，取得最大值，最大值为256，当0时，，令，解得，由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，由于，故时，W的最大值为315，因为，所以该店日销售利润W的最大值为315元.18.已知函数（，且）为奇函数.（1）求实数的值；（2）当时，判断在的单调性并用定义加以证明；（3）记，解关于的不等式.【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由奇函数定义可得，代入函数解析式化简即可得到结果.（2）利用单调性定义可证明在0,+∞上单调递增.（3）结合（2）的分析过程，对进行分类讨论，确定函数的单调性，利用单调性解不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意得，故的定义域为，由，化简得，解得.【小问2详解】在0,+∞上单调递增，证明如下，设，且，则，∵，，，∴，且，，，，∴，，∴，∴在0,+∞上为增函数.【小问3详解】∵为奇函数，∴为奇函数，当时，由（2）证明过程可知，在0,+∞上单调递增，∴在上单调递增，由可得解得，当时，同理可证在0,+∞上单调递减，∴在上单调递减，由可得解得，综上，当时，解集为，当时，解集为0,+∞.19.已知函数，，其中.（1）当时，写出在上的单调性以及最大值（不用证明）；（2）若，函数，，是否存在实数，使得的最大值为1？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（3）设，若对，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，最大值为1；（2）存在，（3）.【解析】【分析】（1）根据指数型复合函数的单调性即可求解，（2）换元，将问题转化为求在的最大值，分类讨论，即可根据二次函数的性质求解，，（3）将问题转化为求解两个函数的值域问题，，分类讨论，结合函数的单调性即可求解.【小问1详解】当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，有最大值为1；【小问2详解】当时，，令，则，当，即，此时在单调递减，故在上有最大值，不满足题意，舍去，当即时，在上单调递增，则最大值，