2025届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文北师大版

PAGE第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页[基础梳理]1．直线与圆的位置关系与推断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d<r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d>r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac①Δ>0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ<0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的状况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解3.两圆公切线的条数位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：(1)经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＋λ(Ax＋By＋C)＝0.(2)经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.[四基自测]1．(基础点：直线与圆的位置关系)直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为()A．相离 B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是()A．相交 B．内切C．外切 D.内含答案：B3．(基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．答案：eq\r(10)4．(易错点：求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋eq\r(3))和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或eq\r(3)授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的推断/自主练透[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D.不确定[解析]法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．法二：(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜eq\r(5)，故直线l与圆相交．法三：(代数法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)＞0，故直线l与圆相交．[答案]A(2)(2024·湖北荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是()A．2 B．－2C．1 D.－1[解析]∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.[答案]B(3)若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0没有公共点，则实数k的取值范围是________．[解析]由题知，圆x2＋y2－2x－3＝0可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1，0)到直线kx－y＋2＝0的距离d＞2，即eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＞2，解得0＜k＜eq\f(4,3).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))挖掘2直线与圆相切问题/互动探究[例2](1)(2024·洛阳三校联考)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是()A．y＝x＋2－eq\r(2) B．y＝x＋1－eq\f(1,\r(2))C．y＝x－2＋eq\r(2) D.y＝x＋1－eq\r(2)[解析]由已知得A(－1，0)，B(0，1)，则易得kAB＝1，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1，－\f(\r(2),2)＋1))，所以切线斜率为1，故切线方程为y＋eq\f(\r(2),2)－1＝x－eq\f(\r(2),2)＋1，即y＝x＋2－eq\r(2).[答案]A(2)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D.－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)[解析]由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线肯定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).[答案]D(3)若圆心在x轴上，半径为eq\r(5)的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5[解析]设圆心坐标为(a，0)(a＜0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以eq\r(5)＝eq\f(|a＋2×0|,\r(5))，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.[答案]D挖掘3直线与圆相交问题/互动探究[例3](1)过点(1，1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2eq\r(3) B．4C．2eq\r(5) D.5[解析]由圆的几何性质可知，当点(1，1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－5)＝4.[答案]B(2)若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2eq\r(7)，则圆Ω的方程为()A．x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25B．x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17D．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16[解析]由于圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，所以圆心在直线y＝2上，设圆心坐标为(a，2)，由题意得eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(a2＋（5－2）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(7),2)))\s\up12(2))，解得a＝0或a＝－4.当a＝0时，圆心坐标为(0，2)，半径为3；当a＝－4时，圆心坐标为(－4，2)，半径为5，所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.故选A.[答案]A(3)已知过点P(t，0)(t>0)的直线l被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得弦AB长为4，若直线l唯一，则该直线的方程为________．[解析]将圆C的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圆心C(1，－2)，半径r＝3.又由题意可知，圆心C到直线l的距离为eq\r(32－22)＝eq\r(5)，∴全部满意题意的直线l为圆D：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的切线．又∵直线l唯一，∴点P在圆D上．∴(t－1)2＋4＝5.∴t＝2或t＝0(舍去)．该切线方程为(2－1)(x－1)＋(y＋2)(0＋2)＝5，即直线l的方程为x＋2y－2＝0.[答案]x＋2y－2＝0(4)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则点A的横坐标为________．[解析]因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tanθ＝2，k＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－3，又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－3（x－5），,y＝2x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))，所以点A的横坐标为3.[答案]3[破题技法]直线与圆位置关系的求解方法问题解题技巧图例直线与圆位置关系推断利用圆心到直线的距离d与半径r比较进行推断求弦长巧借垂径定理，利用|AB|＝2eq\r(r2－d2)(d为弦心距，r为圆的半径)求解直线与圆相交所得弦长求切线方程(1)若点(x0，y0)在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率k，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式方程可求出切线方程(2)若点(x0，y0)在圆外，当斜率k存在时，设直线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程考点二圆与圆的位置关系挖掘利用圆与圆的关系求解/自主练透[例](1)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相切，则m＝()A．－11 B．9C．19 D.9或－11[解析]依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.又r1＝1，r2＝eq\r(25－m)，25－m＞0，当两圆外切时，r1＋r2＝eq\r(25－m)＋1＝5，解得m＝9，当两圆内切时，|r2－r1|＝5，即|eq\r(25－m)－1|＝5，得eq\r(25－m)＝6，解得m＝－11.[答案]D(2)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度是()A．3 B．4C．2eq\r(3) D.8[解析]如图，连接O1A、O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线相互垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1Oeq\o\al(2,2)＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq\f(\r(5),5)，∴在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，∴AB＝2AC[答案]B(3)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为()A．2 B．4C．8 D．9[解析]由题意可知，圆C1的圆心为(－2a，0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以eq\r(（－2a－0）2＋（0－b）2)＝2－1，即4a2＋b2＝1.所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))·(4a2＋b2)＝5＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥5＋2eq\r(\f(b2,a2)·\f(4a2,b2))＝9，当且仅当eq\f(b2,a2)＝eq\f(4a2,b2)，且4a2＋b2＝1，即a2＝eq\f(1,6)，b2＝eq\f(1,3)时等号成立，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为9.故选D.[答案]D[破题技法]1.推断两圆位置关系的方法几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的肯定值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．而两圆公共弦的方程就是将两圆方程相减，消去x2，y2后的方程．考点三圆的综合问题挖掘1与圆有关的最值问题/自主练透[例1]已知实数x、y满意x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值与最小值；(2)求y－x的最大值、最小值；(3)求x2＋y2的最大值、最小值．[解析](1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为eq\r(（2－0）2＋（0－0）2)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).[破题技法]与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．挖掘2直线与圆的综合问题/互动探究[例2]已知圆C经过点(2，4)，(1，3)，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．(1)求圆C的方程；(2)请问eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))是否为定值，若是，恳求出该定值，若不是，请说明理由；(3)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．[解析](1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（4－b）2＝r2，,（1－a）2＋（3－b）2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))为定值．过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|co