专题一圆-2021-2022学年小学六年级上册数学寒假巩固与提升复习讲义北师大版

20212022学年小学六年级上册数学寒假巩固与提升复习讲义专题一：圆【要点梳理+典例精析+提升拔高】北师大版

1、圆的定义：平面上的一种曲线图形。2、将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。5、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母d表示。6、在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。7、在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。8、在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d＝2r，r＝d；用文字表示为：半径=直径÷2直径=半径×2。9、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。10、圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。11、圆的周长公式：C=πd或C=2πr，圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2。12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。13、把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r。圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。14、圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²或者S=π（）²。15、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。16、在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。17、一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=πR²－πｒ²或 S=π（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度。）18、半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式：Ｃ＝π＋d或Ｃ＝πr＋2r；圆周长的一半=πr。19、半圆面积＝圆的面积÷2公式为：Ｓ＝πｒ²。20、在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍，而面积扩大16倍。21、两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。例如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9。圆周长和直径的比是π：1，比值是π圆周长和半径的比是2π：1，比值是2π。22、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加2πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。23、在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。24、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。25、扇形弧长公式：扇形的面积公式：（n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）。26、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。27、有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。有2条对称轴的图形是：长方形；有3条对称轴的图形是：等边三角形；有4条对称轴的图形是：正方形；有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。28、直径所在的直线是圆的对称轴。29、永远记住要带单位，周长是（例如：cm），面积是平方（例如：cm2），体积是立方（例如：cm3）。【例1】顶点在圆心上的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角．下面图形中，是圆心角的画“√”是圆周角的画“△”．【分析】根据圆心角和圆周角的含义：顶点在圆心上，并且由两条半径围成的角是圆心角；顶点在圆上的角叫做圆周角；据此解答即可．【解答】解：【点评】明确圆心角和圆周角的含义，是解答此题的关键．【例2】从A到B有两条路线①和②，（如图）哪条路线更短些？先在正确的答案后面画“√”，再用合适的方式作出解释。第①条路线短□；②条路线短□，一样长□。【分析】可以设小半圆的直径是1厘米，中半圆的直径是2厘米，则大半圆的直径是3厘米，①是一个大半圆的圆弧，②是一个中半圆圆弧和一个小半圆圆弧，根据圆周长的公式：C＝2πr，求出三个半圆弧的周长，由此即可比较。【解答】解：设小半圆的直径是1厘米，中半圆的直径是2厘米，则大半圆的直径：1+2＝3（厘米）小半圆弧：3.14×1÷2＝3.14÷2＝1.57（厘米）中半圆弧：3.14×2÷2＝6.28÷2＝3.14（厘米）大半圆弧：3.14×3÷2＝9.42÷2＝4.71（厘米）②路线：1.57+3.14＝4.71（厘米）即①＝②；所以两条路线一样长。【点评】本题主要考查圆的周长公式，熟练掌握圆的周长公式并灵活运用。【例3】如图中大圆半径是6cm，小圆半径是1cm，当小圆绕大圆滚动一周又回到原来位置时，小圆扫过区域的面积是多少平方厘米？【分析】根据题意可知，小圆扫过的面积等于外圆半径是6厘米，内圆半径是（6﹣1﹣1）厘米，两个同心圆组成的圆环的面积，根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。【解答】解：3.14×[62﹣（6﹣1﹣1）2]＝3.14×[36﹣16]＝3.14×20＝62.8（平方厘米）答：小圆扫过区域的面积是62.8平方厘米。【点评】此题解答的关键是明确：小圆扫过的面积等于外圆半径是6厘米，内圆半径是（6﹣1﹣1）厘米，两个同心圆组成的圆环的面积。【例4】若一个圆分成若干等份后，拼成近似的梯形或三角形（如图），可以推出圆的面积计算公式吗？从下列转化的两种图形中，任选一种，用自己的方式推导出圆的面积计算公式。【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个半径为r厘米的圆分成若干等份后（见上图），我们可以拼成一个近似的梯形，这个梯形的高是半径的2倍，上下底的和是圆周长的一半，根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，推导出圆的面积公式：S＝πr2。据此解答。【解答】解：设这个圆的半径为r，那么这个梯形的高是2r，上下底的和是πr，因为梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2＝πr×2r÷2＝2πr2÷2＝πr2所以圆的面积＝πr2【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。【例5】向阳村社区广场中间有一座圆形喷水池，周长是37.68米，沿水池周围修一条宽2米的水泥路，这条水泥路的面积是多少平方米？【分析】首先根据圆的周长公式；C＝2πr，那么r＝C÷2π，据此求出圆形喷水池的半径，喷水池的半径加上路宽就是外圆半径，然后根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。【解答】解：37.68÷3.14÷2＝6（米）6+2＝8（米）3.14×（82﹣62）＝3.14×（64﹣36）＝3.14×28＝87.92（平方米）答：这条水泥路的面积是87.92平方米。【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。一．选择题（共8小题）1．钟面上的时针从12起走到5，经过的部分是一个圆心角（）°的扇形。A．30 B．60 C．90 D．1502．要找到一张圆形纸片的圆心，至少要把它对折（）次．A．3 B．2 C．1 D．无数3．豆豆在学习圆的周长时，把一个直径是2厘米的圆形卡片在直尺上滚动一周。下面测量最接近准确值的一次是（）A． B． C． D．4．画一个周长是56.52厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米。A．3 B．6 C．9 D．125．圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（）倍。A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍6．关于圆周率的说法错误的是（）A．圆周率是无限不循环小数 B．圆周率是圆的周长与直径的比值 C．圆周率是37．如图，三个圆的圆心在同一条直线上，大圆的周长与两个小圆的周长之和相比较（）A．大圆的周长长 B．大圆的周长短 C．同样长8．以一个正方形的边长为半径作一个圆，这个圆的面积是这个正方形的（）倍。A． B． C．π二．填空题（共8小题）9．在一个正方形里剪下一个最大的圆，若圆的周长是31.4cm，则这个正方形的面积是cm2，这个圆的面积是cm2。10．一个时钟的分针长4厘米，当它正好走一圈时，它的尖端走了厘米，分针所扫过的面积是平方厘米。11．（如图）一个环形，外圆半径为12厘米，内圆半径为8厘米，这个环形的面积是平方厘米。12．如图，用一张长10厘米，宽8厘米的纸剪出一个圆，这个圆的面积最大是平方厘米。13．学校操场地面上画了一个周长是31.4m的圆，六（1）班全体同学站在圆上做游戏，老师站在圆内，他和每个同学之间的距离都相等。老师和每个同学之间的距离是m。14．用圆规画一个直径10cm的圆，圆规两脚间的距离应是cm．15．圆有条半径，圆半径的长度是它直径的；半圆有条对称轴16．将一个直径是6厘米的圆形纸片沿着直径对折一次，得到的一个半圆形纸片的周长是厘米，面积是平方厘米。三．判断题（共5小题）17．圆的周长与直径的比值和圆的面积与直径的比值相等。（判断对错）18．用一根长3.14米的绳子围成一个最大的圆，这个圆的直径是1米。（判断对错）19．一个半圆，直径是d，它的周长是πd。（判断对错）20．要使一个圆的面积扩大到原来的6倍，可以将它的半径扩大到原来的3倍。（判断对错）21．圆规两脚间的距离为3厘米，画出的圆的面积是28.26平方厘米。（判断对错）四．计算题（共2小题）22．计算下面图形阴影部分的周长和面积。（单位：cm）23．如图中阴影部分的周长是多少cm？五．操作题（共1小题）24．找出如图的圆心，并用字母表示．六．应用题（共5小题）25．用一根绳子绕一根竖直放置的木材一圈的长度是50.24厘米，这根木材的水平截面的直径是多少厘米？26．从一块长6厘米，宽4厘米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这块圆形木板的周长是多少分米？27．一个圆形花坛的直径是10米，要在它的周围铺一条1米宽的小路，这条小路面积是多少平方米？28．一个圆形喷水池，半径为6米，在他周围有一条宽为1米的环形小路，要在环形路上铺上鹅卵石，每平方米需要0.3吨鹅卵石，一共需要鹅卵石多少吨？29．在周长是37.68米的圆形花坛周围铺一条2米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？（π取3.14）

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据生活经验可知，时针12小时转一圈，钟面上有12个大格，时针从12起走到5，经过了5个大格，经过的部分的扇形圆心角的度数是周角的，周角是360°，根据“等分”除法的意义，把360°平均分成12份，再根据乘法的意义，用乘法求出其中的5份就是这个扇形的圆心角度数。【解答】解：360°÷12×5＝30°×5＝150°答：经过的部分是一个圆心角是150°的扇形。故选：D。【点评】此题考查的目的是理解掌握圆的认识，扇形的认识，周角的意义及应用。2．【分析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．【解答】解：将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．故选：B．【点评】本题考查了确定圆心的方法．3．【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答即可。【解答】解：3.14×2＝6.28（厘米）所以，测量最接近准确值的一次是C。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。4．【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，把数据代入公式解答。【解答】解：56.52÷3.14÷2＝9（厘米）答：圆规两脚之间的距离是9厘米。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，面积公式：S＝πr2，再根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍。据此解答。【解答】解：3×3＝9所以，圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的9倍。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的应用，因数与积的变化规律规律及应用。6．【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可。【解答】解：A、圆周率是无限不循环小数，说法正确；B、根据圆周率的含义可知：π是圆的周长与它的直径的比值说法正确；C、圆周率是3说法错误，因为圆周率是一个无限不循环小数。故选：C。【点评】此题考查了圆周率的含义。7．【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，大圆的直径等于两个小圆的直径和，那么大圆的周长等于两个小圆的周长和。据此解答即可。【解答】解：因为大圆的直径等于两个小圆的直径和，所以大圆的周长等于两个小圆的周长和。答：大圆的周长与两个小圆的周长之和相比较是同样长。故选：C。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是明确：如果大圆的直径等于两个小圆直径的和，那么大圆的周长等于两个小圆的周长和。8．【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，正方形的面积公式：S＝a2，设正方形的边长为r，把数据代入公式分别求出正方形的面积、圆的面积，然后根据求一个数是另一个数的几倍，用除法解答。【解答】解：设正方形的边长为r，πr2÷r2＝π答：这个圆的面积是这个正方形的π倍。故选：C。【点评】此题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。二．填空题（共8小题）9．【分析】根据题意可知，在一个正方形里剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的周长公式：C＝πd。那么d＝C÷π，据此求出圆的直径，再根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【解答】解：31.4÷3.14＝10（厘米）10×10＝100（平方厘米）3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米）答：这个正方形的面积是100平方厘米，这个圆的面积是78.5平方厘米。故答案为：100，78.5。【点评】此题主要考查圆的周长公式、正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。10．【分析】根据生活经验可知，分针1小时转一圈，当分针走一圈时，分针尖端走的距离等于半径为4厘米的圆的周长，分针扫过的面积等于半径为4厘米的圆的面积，根据圆的周长公式：C＝2πr，面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【解答】解：2×3.14×4＝25.12（厘米）3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方米）答：它的尖端走了25.12厘米，分针所扫过的面积是50.24平方厘米。故答案为：25.12，50.24。【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答即可。【解答】解：3.14×（122﹣82）＝3.14×（144﹣64）＝3.14×80＝251.2（平方厘米）答：这个环形的面积是251.2平方厘米故答案为：251.2。【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。12．【分析】根据题意可知，在这张长方形纸剪出一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【解答】解：3.14×（8÷2）2＝3.14×16＝50.24（平方厘米）答：这个圆的面积是50.24平方厘米。故答案为：50.24。【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是明确：在这张长方形纸剪出一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。13．【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，把数据代入公式解答。【解答】解：31.4÷3.14÷2＝5（米）答：老师和每个同学之间的距离是5米。故答案为：5。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。14．【分析】根据圆的特征，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，所以用10除以2即可解答．【解答】解：10÷2＝5（厘米）答：用圆规画一个直径10cm的圆，圆规两脚间的距离应是5cm．故答案为：5．【点评】解答本题的关键是知道圆规两脚间的距离就是所画圆的半径．15．【分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴；根据圆周率的含义：圆周率等于圆的周长和它直径的比值，用字母“π”表示；同圆中，圆的直径是半径的2倍；由此解答即可．【解答】解：圆有无数条半径，圆半径的长度是它直径的一半；半圆有一条对称轴；故答案为：无数，一半，一．【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识．16．【分析】根据半圆周长、半圆面积的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，半圆的面积等于该圆面积的一半，根据半圆的周长公式：C＝πd÷2+d，面积的面积公式：S＝πr2÷2，把数据代入公式解答。【解答】解：3.14×6÷2+6＝9.42+6＝15.42（厘米）3.14×（6÷2）2÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）答：这个半圆形纸片的周长是15.42厘米，面积是14.13平方厘米。故答案为：15.42，14.13。【点评】此题考查的目的是理解半圆周长、半圆面积的意义，掌握半圆的周长公式、面积公式及应用。三．判断题（共5小题）17．【分析】根据圆周率的意义，任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率；根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，分析解答即可。【解答】解：圆的周长公式：C＝πd那么圆的周长与直径的比值为：πd：d＝π：1＝3.14圆的面积公式：S＝πr2＝π＝πd2那么圆的面积与直径的比值为：πd2：d＝πd2：4d＝πd：4＝0.785d因为0.785d的值不确定，不一定与3.14相等，所以原题说法错误。故答案为：×。【点评】此题主要考查圆的认识和圆周率，熟记圆的周长和圆的面积公式是关键。18．【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，据此求出这个圆的直径，然后与1米进行比较。据此判断。【解答】解：3.14÷3.14＝1（米）所以这个圆的直径是1米。因此，题干中的结论是正确的。故答案为：√。【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。19．【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径。据此判断。【解答】解：半圆的周长是：πd+d因此，题干中的计算是错误的。故答案为：×。【点评】此题解答关键是明确：半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径。20．【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，因为圆周率一定，圆的面积扩大到原来的倍数等于半径扩大到原来倍数的平方，据此判断。【解答】解：如果圆的半径扩大到原来的3倍，那么圆的面积就扩大到的原来的9倍。因此，题干中的结论是错误的。故答案为：×【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是明确：圆的面积扩大到原来的倍数等于半径扩大到原来倍数的平方。21．【分析】因为半径决定圆的大小，画圆时，圆规两脚间的距离等于所画圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，求出半径是3厘米的圆的面积，与28.26平方厘米进行比较。据此判断。【解答】解：3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）所以画出的圆的面积是2826平方厘米。因此，题干中的结果是正确的。故答案为：√。【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。四．计算题（共2小题）22．【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于大小圆的周长和，阴影部分的面积等于大小圆的面积差，根据圆的周长公式：C＝2πr，环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。【解答】解：2×3.14×7+2×3.14×5＝43.96+31.4＝75.36（厘米）3.14×（72﹣52）＝3.14×（49﹣25）＝3.14×24＝75.36（平方厘米）答：阴影部分的周长是75.36厘米，面积是75.36平方厘米。【点评】此题主要考查圆的周长公式、环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23．【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于半径是10厘米的圆周长的一半加上直径是10厘米的圆周长的一半，再加上10厘米。根据圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，把数据代入公式解答。【解答】解：3.14×10+3.14×10÷2+10＝31.4+15.7+10＝57.1（cm）答：阴影部分的周长是57.1cm。【点评】此题解答的关键是弄清阴影部分的周长是由哪几部分组成的，根据圆的周长公式解答。五．