第15章概率章末题型归纳总结（原卷版）

第15章概率章末题型归纳总结章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：互斥事件、对立事件与相互独立事件经典题型二：古典概型经典题型三：相互独立事件概率的计算经典题型四：概率综合问题模块三：数学思想与方法分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程的思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：互斥事件、对立事件与相互独立事件例1．（2023·高一单元测试）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”例2．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）下列命题正确的是（）A．事件、满足，则、是对立事件B．互斥事件一定是对立事件C．若事件、、两两互斥，则D．若为不可能事件，则例3．（2023·上海浦东新·高一校考期末）从装有6个红球和4个白球的口袋中任取4个球，那么互斥但不对立的事件是（

）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有2个红球与恰有3个红球例4．（2023·天津·高一校联考期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（

）A． B．事件A与事件B互斥C．事件A与事件B相互独立 D．例5．（2023·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考阶段练习）一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（

）A．至少有两次中靶 B．三次都不中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶例6．（2023·高一课时练习）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（

）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”例7．（2023·湖南邵阳·高一统考期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件M＝“第一枚硬币正面向上”，N＝“第二枚硬币反面向上”，则下列结论中正确的是（

）A．M与N是对立事件 B．M与N是互斥事件C．M与N相互独立 D．M与N既不互斥也不独立例8．（2023·高一课时练习）坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，则和是（

）A．互斥的事件 B．相互独立的事件C．对立的事件 D．不相互独立的事件例9．（2023·高一单元测试）若，，，则事件与的关系是（

）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立经典题型二：古典概型例10．（2023·高一课时练习）哥德巴赫猜想的部分内容如下：任一大于2的偶数可以表示为两个素数（素数是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）之和，如18＝7+11.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是_______.例11．（2023·高一校考课时练习）某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示.胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数30712073则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______.例12．（2023·山东济南·高一校考阶段练习）同时抛三枚均匀的硬币，则事件“恰有2个正面朝上”的概率为________.例13．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）现有1件正品和2件次品，从中不放回的依次抽取2件产品，则事件“第二次抽到的是次品”的概率为____________.例14．（2023·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，若一盘中共有两种粽子，其中3个蜜枣粽子，4个蛋黄粽子，现从盘中任取2个都是相同馅粽子的概率为______；例15．（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期末）箱子内有大小相同的六个小球，有一个标号1点，两个标号2点，三个标号3点，现从中一次性任取出2个，两个标号之和大于5点的概率为____________．例16．（2023·高一课时练习）一个罐子里有同样大小、同样质量的20个玻璃球，其中4个红色，6个黑色，10个无色，充分混合后，从罐子里任取一球，求下列事件的概率：（1）事件“取到红色玻璃球”，______；（2）事件“取到有色玻璃球”，______；（3）事件“取到无色玻璃球”，______．例17．（2023·高一单元测试）抛一颗骰子2次，则抛得数字之和是5的概率为______．例18．（2023·高一课时练习）从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，那么这2张纸片上的数字之积为偶数的概率为___________．例19．（2023·高一课时练习）三行三列的方阵有9个数，例如：．从中任取3个数，则至少有2个数位于同行或同列的概率为____________．经典题型三：相互独立事件概率的计算例20．（2023·高一课时练习）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)两个人都译出密码的概率.(2)两个人都译不出密码的概率.(3)恰有1个人译出密码的概率.例21．（2023·安徽亳州·高一校考期末）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．求甲学校获得冠军的概率.例22．（2023·陕西汉中·高一校联考期末）某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.例23．（2023·吉林长春·高一校考期中）为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛，现已知甲､乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，在第二轮胜出的概率分别为，甲､乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响.(1)在甲､乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？(2)若甲､乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率.例24．（2023·北京延庆·高一统考期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．例25．（2023·辽宁大连·高一统考期末）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．例26．（2023·高一课时练习）牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，，、在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.(1)分别求出、进入第二轮比赛的概率；(2)若、两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率.例27．（2023·北京门头沟·高一统考期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率；(1)乙中靶；(2)恰有一人中靶；(3)至少有一人中靶.例28．（2023·高一单元测试）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是．现3人各投篮1次，求：(1)3人都投进的概率；(2)3人中恰有2人投进的概率．例29．（2023·河北石家庄·高一校考期末）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．(1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．经典题型四：概率综合问题例30．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）我校为了解高一新生对文理科的选择,对600名高一新生发放文理科选择调查表,统计知,有360名学生选择理科,240名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表:分数段理科人数文科人数(1)利用统计表数据分析:选择文理科学生的数学平均分及数学成绩对学生选择文理科的影响;并绘制选择理科的学生的数学成绩的频率分布直方图;(2)现要对理科数学成绩在后15%的学生进行补考,并制定出补考的分数线,请你用样本来估计总体,给这个分数线的估计值（精确到0.01）;(3)从数学成绩不低于70分的选择理科和文科的学生中各取一名学生的数学成绩,求选取理科学生的数学成绩至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率．例31．（2023·高一校考课时练习）某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数117382275以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.例32．（2023·福建福州·高一校联考期末）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.例33．（2023·高一单元测试）我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.例34．（2023·高一课时练习）已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？（参考数据：）例35．（2023·高一单元测试）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则称该学生的选考方案待确定．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有8人884211选考方案待确定的有6人430100女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人541001(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的人数；(2)假设男、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8名男生和10名女生中各随机选出1人，试求该男生和女生的选考方案中都含有历史学科的概率．例36．（2023·高一单元测试）2020年第七次全国人口普查摸底工作从10月11日开始，到10月31日结束.11月1日开始进入普查的正式登记阶段.普查员要对每个住户逐人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取10%的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息.整个登记工作持续到12月10日结束.某社区对随机抽取的10%的住户普查长表信息情况进行汇总，发现其中30%的住户是租房人住，现对租房户按照住户家庭年房租支出情况绘制出如下的频率直方图（假设该社区内住户家庭年房租支出均在2万到8万之间）.(1)求a的值；(2)若抽取的10%的住户中，家庭年房租支出在区间内的恰好有12户，则估计该社区共有住户多少户；(3)若从家庭年房租支出不到6万元的住户中按照分层抽样的方法抽取10户，再从这10户中随机抽取2户对其住房和医疗保健情况进行调查，求抽得的2户家庭年房租支出不超过5万元且不少于3万元的概率.例37．（2023·高一课时练习）已知3个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某2个元件并联后再和第3个元件串联后接入电路．(1)在如图所示的一段电路中，求该电路是通路的概率；(2)3个元件按要求连成怎样的一段电路时，才能使电路是通路的概率最大？请画出此时的电路图，并说明理由．

模块三：数学思想与方法分类与整合思想例38．（2023·全国·模拟预测）某口罩生产厂生产了一批N95型口罩，已知每只口罩检验合格的概率为0.8，对不合格的口罩进行一次技术精加工，加工后每只口罩检验合格的概率为0.3，不合格的作为废品处理.现从这批N95型口罩中任选一只，则得到合格口罩的概率为（

）A．0.78 B．0.86 C．0.88 D．0.90例39．（2023·云南德宏·高三统考期末）高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得个的概率是_______．例40．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，则最后甲队获胜的概率是________．例41．（2023·全国·高三专题练习）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.例42．（2023·全国·高二期中）甲､乙､丙､丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i“，负者称为“负者i“，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.(1)求甲获得冠军的概率；(2)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.例43．（2023·陕西延安·高二校考期末）在某次1500米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为，，，求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)至少有1人通过体能测试的概率.等价转换思想例44．（2023·高一单元测试）社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，，则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（

）A． B． C． D．例45．（多选题）（2023·高一课时练习）(多选)给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（

）A．若任取，则是必然事件B．若任取，则是不可能事件C．若任取，则是随机事件D．若任取，则是必然事件例46．（2023·江苏泰州·高二统考期中）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1正常工作且元件2或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：）均服从正态分布，且各个部件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过的概率为______．例47．（2023·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得