623组合624组合数精练-2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性）

组合组合数(精练）A学业基础一、单选题1．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种 B．20种 C．30种 D．60种【答案】B【详解】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，所以不同的坐法有种.故选：B2．（2021·四川省资中县第二中学高三阶段练习（理））要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则不同分法的种数为（）A．12 B．36 C．24 D．48【答案】B【详解】解：由题意，首先将甲、乙、丙、丁4名同学分成三组有种分法，然后再将三组同学分配到、、三个班级有种分法，所以不同分法的种数为，故选：B.3．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，若从五中不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有（）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【答案】B【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有（种）.故选：B4．（2021·福建宁德·高三期中）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（）A．6种 B．9种 C．18种 D．36种【答案】C【详解】由题意可得，故选：C5．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有（）A．70种 B．55种 C．40种 D．25种【答案】B【详解】解：8人中选4人有种，甲、乙均不选有种，共有种．故选：B．6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）年月，满洲里市再次出现由新型冠状病毒引发的疫情.哈尔滨市派出个医疗小组前往满洲里市区内三所医院开展抗疫工作，因疫情需要，每所医院至少需要安排一个医疗组，其中甲､乙两个医疗小组必须安排在同一所医院，丙､丁两个小组不能安排在同一所医院，则不同的安排方案的总数为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可知，可先进行分组，若分为3,1,1的三组，甲乙必须在3人组，有3种分法；若分为2,2,1，甲乙必须一组，丙丁必须分开，此时戊只能选择跟丙或丁一组，有2种分法；一共有5种分法，再将所分的3组全排列，则五个医疗小组分到三所医院的分法有.故选：C7．（2021·云南·模拟预测（理））如图，达摩院青橙奖分别由陈杲、方璐（女）、金鑫、刘渊、陆盈盈（女）、王权、王志俊、韦东奕、赵慧蝉（女）、朱飞虎共10位青年科学家获得，每人获得奖金100万元，这也是青橙奖颁奖以来女科学家获奖人数首次达到三人为了向他们表示敬意，某视频网站UP主准备从中随机选择三位科学家将他们的经历做一期视频，要求所选的三人中至少有一名女科学家，则有多少种不同的选择（）A．120 B．63 C．85 D．210【答案】C【详解】由题意，所选三人中至少有1名女科学家的种数为.故选：C.8．（2021·广东广州·高三阶段练习）2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有种排法，当郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有种排法，当郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有种排法，当郑州安排4名专家，洛阳安排2名专家，则有种排法，所以每地至少安排一名专家，共有种不同得排法，若甲，乙被安排在不同地点工作，当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有种排法，当郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有种排法，当郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有种排法，当郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有种排法，所以甲，乙被安排在不同地点工作，共有种不同得排法，所以甲，乙被安排在不同地点工作的概率为.故选：C.二、填空题9．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻两盏灯，那么熄灯的方法共有_______种．【答案】56【详解】采用插空法，现将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，在8个空位中任取3个插入熄灭的3盏灯，有种方法.故答案为：56.10．（2021·全国全国·模拟预测）群红包需先设定好红包总金额和红包个数，假设系统根据如下规则按照手速依次分配红包（没有两个人手速完全相同）：每个人都能抢到正整数元，且单个红包的最高金额不能超过剩余红包平均值的2倍．例如：若某人抢红包时还剩6元，3个红包，则他最多能抢到元．若某群主发了总额为8元，数量为4的红包，那么红包金额的分配情况有______种．【答案】33【详解】可将本题视为“8元分给4个人，每个人至少1元”，进而采用隔板法（7个空，3个隔板），得到．因为“单个红包的最高金额不能超过剩余红包平均值的2倍”，因此，不可能出现“5111”及“1511”两种情况，即第1和第2人能获得的最大红包是4元，而不是5元，排除两种不合理情况，还剩33种.故答案为：3311．（2021·江苏江苏·高三）如图所示，在等边三角形中，，，是三边中点，在图中可以数出三角形中，任选一对三角形（不计顺序），如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“和谐三角形”，那么，图中“和谐三角形”共有________对．【答案】【详解】设等边三角形的边长为，因为D，E，F是三边中点，所以是等边三角形的中心，显然是等边三角形的高线、角平分线、中线，因此有,，由正弦定理可知：，因此，于是图型中的三角形根据边长可以分成以下四类：第一类；第二类；第三类，第四类.第一类、第二类、第三类三角形中任意两个三角形中必有一边相等，第二类、第三类、第四类三角形中任意两个三角形中必有一边相等，唯独第一类任意一个三角形与第四类三角形（只有一个）不和谐，这种情况有6种，四类三角形共有：，因此从这16个三角形中取出2个三角形（不计顺序）共有种取法，因此和谐三角形共有对，故答案为：12．（2021·全国·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有_____________种．【答案】2520【详解】先从七种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，再将剩余的六种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，由于图形是轴对称图形，∴上述方法正好重复一次，∴不同的涂色方法共有(种)．故答案为：2520三、解答题13．（2021·全国·高二课时练习）从包含甲､乙2人的8人中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各多少种不同的排法？（1）甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒；（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；（3）甲､乙2人都被选中且必须跑相邻两棒.【答案】（1）（2）（3）（1）甲､乙2人必须跑中间两棒，则他们本身有一个全排列，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲､乙2人中选出1人，有种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种结果，另外6人中要选3人的剩余的三个位置上排列，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.（3）甲､乙作为一个整体，从余下的6人中选2人，相当于3个人在三个位置上排列，则不同的排列种数为.14．（2021·全国·高二课时练习）有6个人分成两排就座，每排3人：（1）共有多少种不同的坐法？（2）如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，共有多少种不同的坐法？（3）如果甲和乙必须在同一排且相邻，共有多少种不同的坐法？（4）如果甲和乙必须在同一排且不相邻，共有多少种不同的坐法？【答案】（1）720（2）216（3）192（4）96（1）分成两排就座，前排3人，后排3人，有种方法；（2）若甲不能坐在第一排有种坐法，乙不能坐在第二排有种坐法，剩余4人全排列，根据乘法原理，共有种不同坐法；（3）当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，由加法原理，共有种.（4）当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，由加法原理，共有种.B应考能力15．（2021·重庆八中高三阶段练习）已知某校为学生提供了四种体育锻炼的方式：跑步､跳绳､排球､篮球.规定学生体锻必须且只能从上述四种体锻方式中选择一种.已知学生甲不选篮球，学生乙只选排球，学生丙､丁选择哪种方式体锻都可以，这四名学生体锻后，恰好选择了其中的三种体锻方式，那么他们选择体锻方式的可能情况有（）种.A．7 B．12 C．19 D．26【答案】D【详解】①若四人选择的三种体锻方式中没有篮球，则甲､丙､丁可以在另外三种体锻方式中任选，但跑步､跳绳必须有人选，分三类，故共有；②若四人选择的三种体锻方式中没有跑步，当甲选排球时，则丙､丁必须去选跳绳和篮球，故共有种；当甲选择跳绳时，分三类，共有种；③同理，若四人选择的三种体锻方式中没有跳绳，共有7种情况.综上：根据分类计数原理可得共有种.故选：D16．（2021·全国·模拟预测）某校的6名高二学生打算参加学校组织的“篮球队”“微电影社团”“棋艺社”“美术社”“合唱团”5个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“微电影社团”的不同参加方法种数为（）A．1140 B．3600 C．5040 D．6840【答案】C【详解】可分两类：第一类，若有1人参加“微电影社团”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人参加剩下4个社团，人数安排有和两种情况，所以不同的参加方法种数为；第二类，若无人参加“微电影社团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有和两种情况，所以不同的参加方法种数为．故不同的参加方法种数为，故选：C．17．（2021·四川宜宾·模拟预测（理））电影院每排的座位号分单双号分布，每一排的中间是小号，往两边依次变大，如，中间开始，往左边座位号分布为，往右边座位号分布为．国庆档电影上映前五天，《长津湖》以亿元的票房收入高居票房榜榜首．长江社区为了慰问烈士家属，购买了某场放映《长津湖》同一排座位号为，12的六张电影票，准备全部分发给甲、乙、丙、丁四个烈士家庭，每个家庭至少一张，至多两张，且分给同一家庭的两张票必须座位相连，那么不同的分法种数是（）A．24 B．48C．96 D．144【答案】D【详解】一个连号时，另一连号有3种可能：，一个连号时，另一连号有2种可能：，一个连号时，另一连号有2种可能：，一个连号时，另一连号有2种可能：，一个连号时，另一连号有3种可能：，共12种，不考虑顺序即有6种组合，任选一种连号组合后，相当于变成了4张票分给4个家庭，因此总分配方法数为．故选：D．18．（2021·全国·高二课时练习）高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【答案】（1）561种；（2）5984种；（3）2100种；（4）2555种；（5）6090种.【详解】（1）从余下的34名学生中选取2名，有＝561(种).∴不同的取法有561种；（2）从34名可选学生中选取3名，有种；或者(种).∴不同的取法有5984种；（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有(种).∴不同的取法有2100种；（4）选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方式＋＝2100＋455＝2555种；∴不同的取法有2555种.（5）选取3名的总数有，因此选取方式共有－＝6545－455＝6090(种).∴不同的取法有6090种.C新素养新题型19．(多选)（2021·全国·高二单元测试）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则（）A．恰好有1件是不合格品的抽法种数为B．恰好有2件是不合格品的抽法种数为C．至少有1件是不合格品的抽法种数为D．至少有1件是不合格品的抽法种数为【答案】ACD【详解】由题意知，抽出的3件产品中恰好有1件不合格品，则包括1件不合格品和2件合格品，抽法种数为，故选项A正确；恰好有2件不合格品，则包括2件不合格品和1件合格品，抽法种数为，故选项B不正确；根据题意，至少有1件不合格品可分为有1件不合格品与有2件不合格品两种情况，则抽法种数为，故选项C正确；至少有1件不合格品的对立事件是3件都是合格品，3件都是合格品的抽取方法有种，则至少有1件是不合格品的抽法种数为，故选项D正确.故选ACD.20．(多选)（2021·全国·高二课时练习）（多选）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，安排学生利用周末去社区义务劳动高三共6个班，其中只有高三（1）班有2个劳动模范，本次义务劳动共20个名额，劳动模范必须参加但不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（）A．若高三（1）班不再分配名额，则共有种分配方法B．若高三（1）班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法C．若高三（1）班恰有3人参加，则共有种分配方法D．若每个班至少3人参加，则共有种分配方法【答案】BD【详解】对于A，若高三（1）班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，知有种分配方法，故A错误；对于B，若高三（1）班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故B正确；对于C，若高三（1）班恰有3人参加，则高三（1）班需再分配1个名额，剩余19个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故C错误；对于D，先分给除高三（1）班外的每个班级2个名额，剩余10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故D正确．故选：BD．21．(多选)（2021·重庆市实验中学高二阶段练习）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小刘为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（）A．若五人每人可任选一项工作，则