第01讲余弦定理

第11章 解三角形第01讲余弦定理目标导航目标导航课程标准重难点1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．2.掌握余弦定理、正弦定理．3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此基础上掌握正、余弦定理的本质．2.解决三角形的边长夹角问题知识精讲知识精讲1．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常见变形(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).2．余弦定理与勾股定理的关系余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．3．余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．4．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形能力拓展能力拓展考法01已知两边一角解三角形例1(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60eq\r(3)cm，A＝eq\f(π,6)，则a＝________cm；例1(2)在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，则BC＝________.【答案】(1)60(2)4或5【解析】(1)由余弦定理得：a＝eq\r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cos\f(π,6))＝eq\r(4×602－3×602)＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(eq\r(5))2＝52＋BC2－2×5×BC×eq\f(9,10)，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.【练后悟通】已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．【跟踪训练】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，则c＝()A．4 B.eq\r(15)C．3 D.eq\r(17)【答案】D【解析】cosC＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,3).又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq\r(17).故选D.2．在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解这个三角形．【解析】根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(2eq\r(3))2＋(eq\r(6)＋eq\r(2))2－2×2eq\r(3)×(eq\r(6)＋eq\r(2))×cos45°＝8，∴b＝2eq\r(2).又∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(1,2)，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.考法02已知三边解三角形例2在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C.例2【解析】根据余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,26＋2\r(3)4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,6)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).∴B＝π－A－C＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,4)＝eq\f(7,12)π，∴A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(7,12)π，C＝eq\f(π,4).【方法总结】已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．【变式训练】1．[变条件]已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC中各角的度数．【解析】已知a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(6)2＋\r(3)＋12－22,2×\r(6)×\r(3)＋1)＝eq\f(\r(2),2)，∵0°<A<180°，∴A＝45°.cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(22＋\r(3)＋12－\r(6)2,2×2×\r(3)＋1)＝eq\f(1,2)，∵0°<B<180°，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.2．[变条件，变设问]若三角形三边长之比是1∶eq\r(3)∶2，则其所对角之比是()A．1∶2∶3 B．1∶eq\r(3)∶2C．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) D.eq\r(2)∶eq\r(3)∶2【答案】A【解析】设三角形三边长分别为m，eq\r(3)m,2m(m＞0)，最大角为A，则cosA＝eq\f(m2＋\r(3)m2－2m2,2m·\r(3)m)＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cosB＝eq\f(2m2＋\r(3)m2－m2,2·2m·\r(3)m)＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝30°，∴C＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A.3．[变条件，变设问]在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sinA∶sinC＝(eq\r(3)＋1)∶2，求角C.【解析】∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B.∴2accosB＝ac，∴cosB＝eq\f(1,2).∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，A＋C＝120°.∵eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，∴2sinA＝(eq\r(3)＋1)sinC.∴2sin(120°－C)＝(eq\r(3)＋1)sinC.∴2sin120°cosC－2cos120°sinC＝(eq\r(3)＋1)sinC.∴sinC＝cosC.∴tanC＝1.∵0°<C<180°.∴C＝45°.考法03判断三角形的形状例3在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断△ABC的形状例3【解析】将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2＝2bc×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴b2＋c2＝eq\f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq\f(4a4,4a2)＝a2.∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．【方法总结】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．【跟踪训练】在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．【解析】由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，可得，，则．故选：C.2．从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（

）A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于【答案】D【解析】从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根有，，，，，，，，，共10种取法，其中能够围成三角形的有，，三种，若三边为2，3，4，设最大角为，则，故；若三边为2，4，5，设最大角为，则，此时；若三边为3，4，5，故最大角为直角，综上所述，D选项正确.故选：D.3．在中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设为的最小角，为的最大角，由余弦定理，可得，因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是.故选：B.4．在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在锐角△ABC中，b＝1，c＝2.若C为最大角，即，则，即，解得：；若A为最大角，即，则，即，解得：；所以.故选：D5．在中，分别是角的对边，若，则角等于（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】，又余弦定理得故故选：C6．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理．汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性．现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将延长至）得到图2．在图2中，若，，、两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件可得，在中，由余弦定理得，所以，，所以，，，，所以弦图中小正方形的边长为．故选：C.二、多选题7．在中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，则边长的值为（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】在中，，，，由余弦定理得，，，，解得或，故选：AB8．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AC【解析】对于A选项，，可以得出，∴，故A正确；对于B选项，因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；对于C选项，假设，则，，则，所以与矛盾，∴，故C正确，对于D选项，取，满足，此时，故D错误；故选：AC.三、填空题9．已知的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则的最小角的余弦值为__________.【答案】##【解析】因为，故可设，因为，故最小，从而.故答案为：.10．在中，已知，，，则______.【答案】【解析】在中，已知，，，由余弦定理得：，所以.故答案为：四、解答题11．如图，两条笔直的公路相交成60°角，两辆汽车A和B同时从交点O出发，分别沿两条公路行驶．如果汽车A的速度是48km/h，那么汽车B应以多大的速度行驶，才能使这两辆汽车在出发1h后相距43km(结果精确到1km/h)？【答案】或【解析】如图：设1小时后，汽车在点，汽车在点，由已知：在中，，，，由余弦定理得，即，化简得，解得或13．∴汽车的速度是，或时，两辆汽车在出发后相距．12．在中，(1)已知b＝8，c＝3，，求a；(2)已知a＝7，b＝3，c＝5，求；(3)已知a＝20，b＝29，c＝21，求．【解析】(1)依题意.(2)由余弦定理得，由于，所以.(3)由余弦定理得，由于，所以.题组B能力提升练一、单选题1．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵，又∵，.∴（当且仅当时取等号）.∴，∴面积的最大值为4.故选：D2．已知在三角形中，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因为，所以，所以，即；故选：A3．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在锐角中，，所以，得，则所以，令，则，所以函数在单调递减，在单调递增，又，，所以的最小值为.故选：B4．在中，，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】在中，，又由余弦定理知，，两式相加得：，（当且仅当时取“”，又，（当且仅当时成立），为的内角，，，又，的形状为等边△．故选：．5．星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（

）（参考数据：，，）A．26光年 B．16光年 C．12光年 D．5光年【答案】B【解析】由，所以，由题意知：、、、，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，则，，如图由余弦定理，所以，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年；故选：B6．在中，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可知，当时等号成立.所以.故选：A.二、多选题7．在中，，，，下列命题为真命题的有（

）A．若，则B．若，则为锐角三角形C．若，则为直角三角形D．若，则为直角三角形【答案】ACD【解析】A：若，由正弦定理得，，则A正确；B：若，则，，即为钝角，为钝角三角形，故B错误；C：若，则，为直角三角形，故C正确；D：若，则，，，由余弦定理知，，则，，，为直角三角形，故D正确．故选：ACD．8．的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（

）A．sin(B+C)=sinAB．cos(B+C)=cosAC．若，则为直角三角形D．若，则为锐角三角形【答案】AC【解析】依题意，中，，，A正确；，B不正确；因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.故选：AC三、填空题9．在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】在中，，，，由余弦定理得：，即.因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程由两个正根，所以，解得：.故实数的取值范围是.故答案为：10．如图，已知为重心，且，若，则的值为_________．【答案】【解析】连接并延长交于点，则为的中点，且，所以，，，所以，，所以，，设，，，因为，则，则，由余弦定理可得，所以，，因此，.故答案为：.四、解答题11．如图，在中，点在线段上，且，.(1)若是正三角形，求的长；(2)若，，求的值.【解析】(1)因为，，由余弦定理可得.(2)因为，则为锐角，则，则，由正弦定理得，则，因此，.题组C培优拔尖练一、单选题1．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（

）A．(） B．(）C．[) D．[，1)【答案】C【解析】由题意得，（当且仅当时取等号），由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解