第5讲二项式定理11种题型总结（原卷版）

第5讲二项式定理11种题型总结【考点分析】考点一：二项式定理的概念①二项式定理：②通项公式：③二项式系数：二项式系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)④共有n＋1项考点二：二项式系数的性质①对称性：②二项式系数的最值：当为偶数时，中间一项的二项式系数最大当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大③二项式系数和：考点三：各项系数和（赋值法）①形如的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．②形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．【题型目录】题型一：求展开式题型二：二项展开式中的系数题型三：二项式系数和和各项系数和题型四：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数题型五：求三项展开式中指定幂的系数题型六：有理项问题题型七：求系数最大小项问题题型八：利用“赋值法”及二项式性质，求部分项系数，二项式系数和题型九：利用二项式定理求余数题型十：利用二项式定理求近似值题型十一：二项式定理与杨辉三角【典型例题】题型一：求展开式【例1】求的展开式【例2】设，化简______.【例3】求值：________【例3】化简多项式的结果是（

）A． B． C． D．【题型专练】1．求的展开式．2．（

）A． B． C． D．3．化简的结果为（

）A．x4 B． C． D．题型二：二项展开式中的系数【例1】在的展开式中，的系数是（

）A．35 B． C．560 D．【例2】若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（

）A． B．3360 C．210 D．16【例3】已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为____________．【例4】的展开式中含项的系数为__________.（用数字作答）【例5】的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______．【题型专练】1．的展开式中的常数项为___________.2．写出一个正整数n，使的展开式中含有常数项，则n＝______．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）3．若展开式中第5项为常数项，则________；4．的展开式共有8项，则常数项为____________．5．已知的展开式中的系数为____________6．在的二项展开式中，第______项为常数项.7．设常数，展开式中的系数为，则_______.题型三：二项式系数和和各项系数和【例1】已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（

）A．252 B． C．210 D．【例2】在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（

）A．15 B．45 C．135 D．405【例3】（多选题）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（

）A． B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458 D．展开式中含项的系数为240【例4】在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是________．【例5】在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）【题型专练】1．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（

）A．16 B．32 C．1 D．2．（多选题）已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（

）A． B．展开式中所有项的系数和为1C．展开式中二项式系数和为 D．展开式中不含常数项3．若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是___________.4．若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是______．5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为_______.6．二项式的展开式中，常数项是___________，各项二项式系数之和是___________.（本题用数字作答）题型四：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数【例1】的展开式中的常数项为（

）A．240 B． C．400 D．80【例2】二项式展开式中的系数为（

）A．120 B．135 C．140 D．100【例3】已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【例4】（多选题）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（

）A． B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458 D．展开式中含项的系数为240【例5】的展开式中的系数为______（用数字作答）．【例6】的展开式中，记项的系数为，则______【题型专练】1．在的展开式中常数项为（

）A．14 B．－14 C．6 D．－62．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（

）A．0 B． C．120 D．3．的展开式中常数项为_________．（用数字作答）4．已知，则的值为___________.5．已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为________．6．在的展开式中，记项的系数为，则（

）A．45 B．60 C．120 D．2107．的展开式中的系数为（

）A． B． C．160 D．808．展开式中的常数项为______.9．已知多项式，则_______，_______．题型五：求三项展开式中指定幂的系数【例1】的展开式中x项的系数为（

）A．568 B．－160 C．400 D．120【例2】展开式中的系数为（

）A． B．21 C． D．35【例3】展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（

）A． B． C．100 D．160【例4】的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（

）A．16 B．32 C．27 D．81【例5】的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【例6】的展开式中，的系数为___________.【题型专练】1．在的展开式中，含的项的系数为（

）A．120 B．40 C．30 D．2002．展开式中，项的系数为（）A．5 B．5 C．15 D．153．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（

）A．299 B． C．300 D．4．在的展开式中，的系数为___________.5．的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为______.题型六：有理项问题【例1】若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【例2】二项式的展开式中系数为有理数的项共有（

）A．6项 B．7项 C．8项 D．9项【例3】已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项【例4】（多选题）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【例5】的展开式中所有有理项的系数和为（

）A．85 B．29 C． D．【题型专练】1．在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（

）A．3项 B．4项 C．5项 D．9项2．展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（多选题）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（

）A． B．展开式中的常数项为45C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项4．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．5．如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有________项．（填个数）题型七：求系数最大小项问题【例1】已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（

）A． B． C． D．【例2】的二项展开式中，系数最大的是第___________项.【例3】在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．(1)求n的值及展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项是第几项．【题型专练】1．已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．(1)求展开式中的一次项；(2)求展开式中系数最大的项．2．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．3．已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，(1)求展开式中所有的有理项；(2)求展开式中系数最大的项．题型八：利用“赋值法”及二项式性质，求部分项系数，二项式系数和【例1】若，且，则实数的值可以为（

）A．1或 B． C．或3 D．【例2】设，若则非零实数a的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．1【例3】（多选题）已知，若，则有（

）A．B．C．D．【例4】（多选题）已知，则（

）A． B．C． D．【例5】若，则_______，________．【例6】设多项式，则_____.【题型专练】1．已知，若，则自然数n＝______.2．已知且，，，且，则____________．3．已知，且，则______．4．已知，若，则______或______．5．（多选题）设，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．6．（多选题）已知，下列命题中，正确的是（

）A．展开式中所有项的二项式系数的和为；B．展开式中所有奇次项系数的和为；C．展开式中所有偶次项系数的和为；D．.7.（多选题）已知，则（

）A．B．C．D．8．已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.题型九：利用二项式定理求余数【例1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【例2】（多选题）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（

）A．B．的展开式中有理项有5项C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512D．除以9余8【例3】设n∈N，且能被6整除，则n的值可以为_________.(写出一个满足条件的n的值即可)【例4】已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为___________.【题型专练】1．设，则当时，除以15所得余数为（

）A．3 B．4 C．7 D．82.（多选题）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（

）A．0 B．11 C．12 D．253．除以100的余数是______．4．若能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）①0；②11；③12；④25．题型十：利用二项式定理求近似值【例1】的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【例2】估算的结果，精确到0.01的近似值为（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【题型专练】1．已知为正整数，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．1.028的近似值是___________.(精确到小数点后三位)题型十一：二项式定理与杨辉三角【例1】当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【例2】杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【例3】（多选题）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（

）A．B．当且时，C．为等差数列D．存在，使得为等差数列【例4】如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．【例5】如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为__________.【题型专练】1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（

）A．165 B．180 C．220 D．2362．（多选题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉126